地面に垂直に建つ塔がある。塔から離れた地点Aから塔の先端Bを見上げた角度（仰角）は45°である。そこから塔に268m近づいた地点Dから塔の先端Bを見上げた角度（仰角）は60°である。塔の高さ（m）を求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に建つ塔がある。塔から離れた地点Aから塔の先端Bを見上げた角度（仰角）は45°である。そこから塔に268m近づいた地点Dから塔の先端Bを見上げた角度（仰角）は60°である。塔の高さ（m）を求める。

2. 解き方の手順

塔の高さ（線分BCの長さ）を $h$ (m) とする。また、地点Dから塔の根元Cまでの距離を $x$ (m) とする。

地点Aから塔の先端Bを見上げた角度が45°なので、三角形ABCは直角二等辺三角形である。したがって、地点Aから塔の根元Cまでの距離は塔の高さと同じで $h$ (m) である。

地点Aから地点Dまでの距離は268mなので、

$h = x + 268$

地点Dから塔の先端Bを見上げた角度が60°なので、三角形BCDにおいて $\tan{60^\circ}$ を考えると、

$\tan{60^\circ} = \frac{h}{x}$

$\tan{60^\circ} = \sqrt{3}$ より、

$\sqrt{3} = \frac{h}{x}$

$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$

これを $h = x + 268$ に代入すると、

$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 268$

$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 268$

$h (1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 268$

$h (\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}) = 268$

$h = 268 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

$h = 268 \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$

$h = 268 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1}$

$h = 268 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

$h = 134 (3 + \sqrt{3})$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ を用いると、

$h \approx 134 (3 + 1.732) = 134 \cdot 4.732 = 633.128$

3. 最終的な答え

塔の高さは約633m