台形ABCDにおいて、AD // BCであり、対角線BDの中点をEとする。AEの延長とBCとの交点をFとする。このとき、以下の3つの問いに答える。 (1) $\triangle AED \equiv \triangle FEB$ を証明する。 (2) DとFを結ぶと、四角形ABFDは平行四辺形になる。(1)の結果から平行四辺形になるための条件を2つ答える。 (3) $AD=4$cm, $BC=7$cm のとき、台形ABCDの面積は四角形DEFCの面積の何倍になるか求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD // BCであり、対角線BDの中点をEとする。AEの延長とBCとの交点をFとする。このとき、以下の3つの問いに答える。

(1) $\triangle AED \equiv \triangle FEB$ を証明する。

(2) DとFを結ぶと、四角形ABFDは平行四辺形になる。(1)の結果から平行四辺形になるための条件を2つ答える。

(3) $AD=4$cm, $BC=7$cm のとき、台形ABCDの面積は四角形DEFCの面積の何倍になるか求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AED$ と $\triangle FEB$ において

* EはBDの中点なので、$DE = BE$

* 対頂角より、$\angle AED = \angle FEB$

* AD // BCより、錯角は等しいので、$\angle ADE = \angle FBE$

よって、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle AED \equiv \triangle FEB$

(2) $\triangle AED \equiv \triangle FEB$ より、$AD = FB$。

また、$AD // FB$ より、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形ABFDは平行四辺形である。

平行四辺形になるための条件は以下の通り。

* 1組の対辺が平行でその長さが等しい。

* 2組の対辺がそれぞれ平行である。

* 2組の対辺がそれぞれ等しい。

* 2組の対角がそれぞれ等しい。

* 対角線がそれぞれの中点で交わる。

したがって、(1)の結論から言える平行四辺形ABFDになるための条件は以下の2つである。

* $AD = BF$

* $AD // BF$

(3) 台形ABCDの高さhとすると、台形ABCDの面積は $\frac{1}{2} (AD+BC)h = \frac{1}{2} (4+7)h = \frac{11}{2}h$

$\triangle AED \equiv \triangle FEB$ より、$\triangle AED$の面積 = $\triangle FEB$の面積。

したがって、台形ABCDの面積 = 四角形ABFDの面積 + $\triangle CDF$の面積

四角形DEFCの面積 = $\triangle CDF$の面積 + $\triangle FEB$の面積 = $\triangle CDF$の面積 + $\triangle AED$の面積

四角形ABFDは平行四辺形なので、その面積は、底辺をAD、高さをhとすると$AD \times h = 4h$となる。

次に$\triangle CDF$の面積を求める。

$AD=4, BF=4$なので、$FC = BC - BF = 7 - 4 = 3$

$\triangle CDF$の面積は、底辺をFC、高さをhとすると、$\frac{1}{2} FC \times h = \frac{1}{2} \times 3 \times h = \frac{3}{2}h$となる。

よって、四角形DEFCの面積 = $\triangle CDF$の面積 + $\triangle AED$の面積 = $\frac{3}{2} h + \triangle AED$の面積。

ここで、台形ABCDの面積は、

$\frac{1}{2}(AD+BC)h = \frac{1}{2}(4+7)h = \frac{11}{2}h$

であり、

$\frac{11}{2}h = 4h + \frac{3}{2}h + \triangle AED$の面積

なので、$\triangle AED$の面積 = $\frac{11}{2} h - (4h + \frac{3}{2}h) = \frac{11-8-3}{2}h = 0$

これはありえないので計算ミス。

台形ABCD = $AD \times h + \frac{1}{2} FC \times h+ BE \times AD = 7h+ \frac{3}{2} AD = 7h + \frac{1}{2}$

$\frac{\frac{11}{2}}{ \frac{7}{2} + AE}$

台形ABCD = 四角形ABFD + $\triangle CDF$

$\triangle AED$ = $\triangle EBF$　なので、四角形DEFC = $\triangle CDF + \triangle EBF$

したがって、台形ABCD = 四角形ABFD + 四角形DEFC - $\triangle EBF$

AD =4, BC=7

台形ABCDの面積は$\frac{(AD+BC)*高}{2} = \frac{(4+7)*h}{2} = \frac{11}{2}h$

四角形DEFC = $\triangle CDF + \triangle EFB = \frac{3}{2} + \triangle EFB = \frac{7}{3}$

$\frac{\frac{11}{2}}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{2}$

$\frac{\frac{11h}{2}}{(\frac{3+2\times1}{2})h}=\frac{11}{3+2} = \frac{11}{5} =2.2$

$\frac{\frac{11h}{2}}{(\frac{3h}{2}+\frac{AD\times高}{2})} =$\frac{11h}{\frac{3}{2}h}= $\frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 証明は上記参照

(2) $AD=BF$, $AD//BF$

(3) $\frac{11}{5}$倍