半径がそれぞれ $a$ と $b$ ($0 < a < b$) である2つの円 $C_1$ と $C_2$ が外接している。さらに、$C_1$ と $C_2$ はそれぞれ異なる2点 $P$ と $Q$ で直線 $l$ に接している。円 $C_1$ と $C_2$ の中心をそれぞれ $A$ と $B$ とするとき、四角形 $ABQP$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径がそれぞれ $a$ と $b$ ($0 < a < b$) である2つの円 $C_1$ と $C_2$ が外接している。さらに、$C_1$ と $C_2$ はそれぞれ異なる2点 $P$ と $Q$ で直線 $l$ に接している。円 $C_1$ と $C_2$ の中心をそれぞれ $A$ と $B$ とするとき、四角形 $ABQP$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

四角形 $ABQP$ は台形である。

$A$ から $BQ$ に垂線を引き、交点を $H$ とする。すると、$BH = b-a$ となる。

$AB = a+b$ であるから、三平方の定理より

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = (a+b)^2 - (b-a)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (b^2 - 2ab + a^2) = 4ab$

$AH = \sqrt{4ab} = 2\sqrt{ab}$

台形 $ABQP$ の面積は

$\frac{1}{2}(PQ)(AP + BQ) = \frac{1}{2}(2\sqrt{ab})(a+b) = (a+b)\sqrt{ab}$

3. 最終的な答え

$(a+b)\sqrt{ab}$