四面体OABCにおいて、辺OAを1:3に内分する点をD, 辺OBの中点をE, 辺OCの中点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。 (1) $\vec{OD}$を$\vec{OA}$を用いて表し、$\vec{OG}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$を用いて表す。 (2) $\vec{OP} = k\vec{OG}$とおくとき、$k$の値を求め、OG:GPを求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAを1:3に内分する点をD, 辺OBの中点をE, 辺OCの中点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。

(1) $\vec{OD}$を$\vec{OA}$を用いて表し、$\vec{OG}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$を用いて表す。

(2) $\vec{OP} = k\vec{OG}$とおくとき、$k$の値を求め、OG:GPを求める。

2. 解き方の手順

(1)

DはOAを1:3に内分するので、$\vec{OD} = \frac{1}{4} \vec{OA}$

EはOBの中点なので、$\vec{OE} = \frac{1}{2} \vec{OB}$

FはOCの中点なので、$\vec{OF} = \frac{1}{2} \vec{OC}$

Gは三角形DEFの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3} = \frac{\frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC}}{3} = \frac{1}{12} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB} + \frac{1}{6} \vec{OC}$

(2)

$\vec{OP} = k\vec{OG} = k (\frac{1}{12} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB} + \frac{1}{6} \vec{OC})$

Pは平面ABC上にあるので、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$とおくと、$s+t+u=1$を満たす。

したがって、$s = \frac{k}{12}$, $t = \frac{k}{6}$, $u = \frac{k}{6}$であり、

$\frac{k}{12} + \frac{k}{6} + \frac{k}{6} = 1$

$\frac{k}{12} + \frac{2k}{12} + \frac{2k}{12} = 1$

$\frac{5k}{12} = 1$

$k = \frac{12}{5}$

$\vec{OP} = \frac{12}{5} \vec{OG}$より、$OG:OP = 5:12$

したがって、$OG:GP = 5:(12-5) = 5:7$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OD} = \frac{1}{4} \vec{OA}$

$\vec{OG} = \frac{1}{12} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB} + \frac{1}{6} \vec{OC}$

(2) $k = \frac{12}{5}$

OG:GP = 5:7