三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $AC = 6$とする。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方の点をEとする。 (1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表す。 (2) 線分AEの長さを求め、線分ADと線分CEの交点をFとするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表す。 (3) (2)のとき、線分BFと線分DEの交点をGとする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表し、三角形BCEの面積をSとするとき、三角形EGFの面積をSを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $AC = 6$とする。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方の点をEとする。

(1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表す。

(2) 線分AEの長さを求め、線分ADと線分CEの交点をFとするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表す。

(3) (2)のとき、線分BFと線分DEの交点をGとする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表し、三角形BCEの面積をSとするとき、三角形EGFの面積をSを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 9:6 = 3:2$。

(2) 円Oは点Cで直線ACに接しているので、方べきの定理より、$AE \cdot AB = AC^2$。

よって、$AE \cdot 9 = 6^2 = 36$。

したがって、$AE = 36/9 = 4$。

メネラウスの定理より、三角形ABDにおいて、直線CEについて考えると、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$。

$AE=4$より、$EB = AB - AE = 9 - 4 = 5$。

$BC = BD + DC$であり、$BD:DC = 3:2$なので、$BD = 3x, DC = 2x$とおくと、$BC = 5x$。

よって、$\frac{4}{5} \cdot \frac{5x}{2x} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$2 \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$2DF = FA$

$AF:FD = 2:1$

(3) メネラウスの定理より、三角形CBEにおいて、直線ADについて考えると、

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$。

$3EF = 2FC$

$EF:FC = 2:3$

次に、チェバの定理より、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$6CF = 5FA$

$AF:FC = 6:5$

また、線分BFと線分DEの交点をGとする。

三角形BDEにおいて、CEは角の二等分線であるから、

$BG:GE = BC:CE$

三角形ABFにおいて、DEは角の二等分線であるから、

$BG:GF = BD:DF$

$BG:GF = 3:1$

三角形BCEの面積をSとする。

三角形BCDの面積は $\frac{3}{5}S$。

三角形ABDの面積は $\frac{9}{6}S$。

$AF:FD = 2:1$なので、三角形ABFの面積は $\frac{2}{3}$。

三角形AFEの面積は$\frac{AE}{AB} * 三角形ABF = \frac{4}{9} * \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$

三角形EGFの面積は$\frac{FE}{CE} * 三角形FEC = \frac{2}{5} * 三角形FEC = 0.4 * 三角形FEC$

三角形ABFの面積は $\frac{AF}{AD} * 三角形ABD = \frac{2}{3} * \frac{3}{5}S = \frac{6}{15}S = \frac{2}{5}S$

三角形AEFの面積は $\frac{AE}{AB} * 三角形ABF = \frac{4}{9} * \frac{2}{5}S = \frac{8}{45}S$

三角形ACFの面積は $\frac{5}{11} *S$

$AG/GD$

$三角形EGF = \frac{BG}{BE}$

3. 最終的な答え

(1) $BD:DC = 3:2$

(2) $AE = 4$, $AF:FD = 2:1$

(3) $BG:GF = 3:1$, $\triangle EGF = \frac{2}{15}S$