一辺の長さが3の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AD上に点I, 辺DC上に点JをID = JD = 2となるようにとる。 (1) 三角形IHJの面積Sを求める。 (2) Dから三角形IHJに垂線DKを下ろすとき、四角形HIKJの面積Tを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AD上に点I, 辺DC上に点JをID = JD = 2となるようにとる。

(1) 三角形IHJの面積Sを求める。

(2) Dから三角形IHJに垂線DKを下ろすとき、四角形HIKJの面積Tを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形IHJの面積Sを求める。

まず、各辺の長さを計算する。

$IH = \sqrt{ID^2 + DH^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$JH = \sqrt{JD^2 + DH^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$IJ = \sqrt{ID^2 + DJ^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

三角形IHJは二等辺三角形なので、IからJHに垂線を下ろし、その交点をMとすると、JM = MH = $\sqrt{13}/2$。

$IM = \sqrt{IH^2 - MH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{13 - 2} = \sqrt{9} = 3$

三角形IHJの面積は、$S = \frac{1}{2} \times IJ \times \sqrt{IH^2 - (IJ/2)^2}$

$IHJ$の面積は、$S=\frac{1}{2} \times JH \times IM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3= 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$。

(2) Dから三角形IHJに下ろした垂線DKの長さを求める。

四面体D-IHJの体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \times \triangle{IDJ} \times DH = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 3 = 2$

また、$V = \frac{1}{3} \times \triangle{IHJ} \times DK = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{2} \times DK$

よって、$DK = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times 2}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

四角形HIKJの面積を求める。

四角形HIKJは、三角形IHJと三角形IKJに分割できる。三角形IKJの面積を考える。

IK = $\sqrt{IF^2 + FK^2}$。

四角形HIKJは台形と考えられる。

$S_{HIKJ} = S_{IHJ} + S_{DIJ} = \frac{1}{2}(IJ+KH) \times DK = \frac{1}{2} * (\sqrt{10}) / DK$

$V = \frac{1}{3} S_{IHJ} \times DK$

$2 = \frac{1}{3} \sqrt{18} DK$

$DK = \sqrt{2}$

三角形DKIと三角形DKJは合同な直角三角形である。DI = DJ = 2, DK = $\sqrt{2}$。

よってIK = JK = $\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}$

四角形HIKJの面積 = $\frac{1}{2} HI \times KJ \times \sin(HI,JK)$

HI=JH=√13

よって四角形HIKJ= 2 $\sqrt{10}$/3

面積 = $3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{10}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$

3

2.

3

3. -> 18

(2) $\frac{34\sqrt{35}}{36}$

$\frac{\sqrt{10}}{37}$

$\frac{\sqrt{38}}{36}$

答え: 三角形IHJの面積は$\sqrt{18}$である。四角形HIKJの面積は$\frac{\sqrt{10}}{4}$

Final Answer: The final answer is $\boxed{\sqrt{10}}$