問題は、与えられた三角形ABCについて、外接円の半径$R$を求める問題です。具体的には、以下の3つのケースが与えられています。 (1) $a=3$, $A=150^\circ$ (2) $b=\sqrt{2}$, $B=120^\circ$ (3) $c=5$, $C=135^\circ$

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角形ABCについて、外接円の半径$R$を求める問題です。具体的には、以下の3つのケースが与えられています。

(1) $a=3$, $A=150^\circ$

(2) $b=\sqrt{2}$, $B=120^\circ$

(3) $c=5$, $C=135^\circ$

2. 解き方の手順

外接円の半径$R$は、正弦定理を用いて求めることができます。正弦定理は、三角形の辺の長さとその対角のサインの比が、外接円の直径$2R$に等しいというものです。つまり、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

各ケースについて、この式を用いて$R$を求めます。

(1) $a=3$, $A=150^\circ$の場合

$\sin A = \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 = 2R$$

したがって、$R = \frac{6}{2} = 3$

(2) $b=\sqrt{2}$, $B=120^\circ$の場合

$\sin B = \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\frac{b}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = 2R$$

したがって、$R = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $c=5$, $C=135^\circ$の場合

$\sin C = \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} = 2R$$

したがって、$R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $R = 3$

(2) $R = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$