直角三角形ABCがあり、AB = 4cm, BC = 6cm, ∠B = 90°である。点PはAを出発し、毎秒1cmの速さでBを通ってCまで移動する。 (1) Aを出発して2秒後の△APCの面積を求める。 (2) 点PがAを出発してx秒後の△APCの面積をy cm^2とする。図2の線分ST上にあるとき、yをxの式で表す。 (3) 点Qは点Pより2秒早くAを出発し、一定の速さでAB上をBまで動く。△AQCの面積が△APCの面積と最初に等しくなってから、次に等しくなるまで何秒かかるかを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 4cm, BC = 6cm, ∠B = 90°である。点PはAを出発し、毎秒1cmの速さでBを通ってCまで移動する。

(1) Aを出発して2秒後の△APCの面積を求める。

(2) 点PがAを出発してx秒後の△APCの面積をy cm^2とする。図2の線分ST上にあるとき、yをxの式で表す。

(3) 点Qは点Pより2秒早くAを出発し、一定の速さでAB上をBまで動く。△AQCの面積が△APCの面積と最初に等しくなってから、次に等しくなるまで何秒かかるかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

PがAB上にあるとき、$0 \le x \le 4$ である。2秒後のPの位置は、Aから2cmの地点である。

このとき、△APCの底辺をAPとすると、AP = 2cmであり、高さはBC = 6cmである。

よって、△APCの面積は、

$\frac{1}{2} \times AP \times BC = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6$

(2)

図2の線分STは、x = 4秒後のPがBに到達してからCに到達するまでの変化を表している。点PがBC上にあるとき、$4 \le x \le 10$ である。

点PがBC上にあるとき、BP = $x - 4$ である。PC = $6 - (x - 4) = 10 - x$ である。

△APCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times PC = \frac{1}{2} \times 4 \times (10 - x) = 2(10 - x) = 20 - 2x$

線分ST上のyをxの式で表すと、$y = 20 - 2x$

(3)

点Qは点Pより2秒早く出発するので、点QがAを出発してからの時間を $x'$ とすると、$x = x' + 2$ となる。

また、点Qは一定の速度でAB上を動くので、点Qの速度はABの長さを2秒で移動することから、$4/2 = 2$ cm/秒である。

したがって、AからQまでの距離AQは、$2x'$ である。

△AQCの面積は、$\frac{1}{2} \times AQ \times BC = \frac{1}{2} \times 2x' \times 6 = 6x'$ である。

ここで、$x' = x - 2$ なので、△AQCの面積は $6(x-2) = 6x - 12$ である。

△AQCの面積と△APCの面積が等しくなるのは、

$6x - 12 = \begin{cases} \frac{1}{2} \times 6 \times x, & 0 \le x \le 4 \\ 20 - 2x, & 4 \le x \le 10 \end{cases}$

最初に等しくなるのは、$0 \le x \le 4$ のときで、

$6x - 12 = 3x$

$3x = 12$

$x = 4$

これはBに到達するときである。

次に等しくなるのは、$4 \le x \le 10$ のときで、

$6x - 12 = 20 - 2x$

$8x = 32$

$x = 4$

したがって、△AQCの面積が△APCの面積と最初に等しくなってから、次に等しくなるまでの時間は0秒である。しかし、問題文に「次に等しくなるまで」とあるので、4秒で交わってから次に交わる点を探す。グラフを見ると4秒以降にも交点があるので計算ミスがあった。

まず0 <= x <=4 の区間について考えると, Pの位置はAP = xで表され、このとき△APC = 6x / 2 = 3xである。

Qの位置はAQ = 2(x-2)と表される。このとき△AQC = 6 * 2(x-2) / 2 = 6(x-2) = 6x - 12である。

3x = 6x - 12

3x = 12

x = 4

これはPとQがBに到着した時である。

次に4 <= x <= 10 の区間について考えると, △APC = 2(10 - x) = 20 - 2xである。

このときQは既にBに到着していて, したがって△AQC = △ABC = 12である。

20 - 2x = 12

2x = 8

x = 4

やはり４秒である。

△AQCのグラフと△APCのグラフを図3にかきこむと、最初に交わるのはx=4のときであることがわかり、次に交わるのは、AQC=12なので、x=4のときを基準に考えれば良い。よって△AQCのグラフは、x=2で０から始まり、x=4で12に達する直線である。△APCが12になるときは、

20 - 2x = 12

8 = 2x

x = 4

よって最初の時点と次の時点は同じなので、次に等しくなることはない。

しかし、グラフから読み取れる交点はx=4ではない。

Qの速さが違う？Pより２秒早く出発する。

Pは1cm/秒でABを通りBCまで行く。QはABを2秒で通りBまで行く。

x > 4のとき△AQC = 12, △APC = 20 - 2x

20 - 2x = 12

8 = 2x

x=4

3. 最終的な答え

△AQCの面積が△APCの面積と最初に等しくなってから、次に等しくなるまでの時間は0秒である。