$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{4}$ である。このとき、(1) $\cos \theta$ と (2) $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{4}$ である。このとき、(1) $\cos \theta$ と (2) $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta$ を求める。

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$(\frac{1}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $\cos \theta \le 0$ なので、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

(2) $\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用する。

$\sin \theta = \frac{1}{4}$、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{-\sqrt{15}} = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

(2) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{15}}{15}$