問題は、与えられた三角形ABCにおいて、指定された辺の長さを求める問題です。 (1) $a=5$, $A=30^\circ$, $B=135^\circ$のとき、$b$を求めます。 (2) $b=\sqrt{2}$, $A=120^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$a$を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角形ABCにおいて、指定された辺の長さを求める問題です。

(1) $a=5$, $A=30^\circ$, $B=135^\circ$のとき、$b$を求めます。

(2) $b=\sqrt{2}$, $A=120^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$a$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を用いて、$b$を求めます。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

$a=5$, $A=30^\circ$, $B=135^\circ$を代入すると、

$b = \frac{5 \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

よって、

$b = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{2}$

(2) 正弦定理を用いて、$a$を求めます。

まず、$C$の角度を求めます。

$A+B+C = 180^\circ$より、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$a = \frac{b \sin A}{\sin B}$

$b=\sqrt{2}$, $A=120^\circ$, $B=45^\circ$を代入すると、

$a = \frac{\sqrt{2} \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$a = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 5\sqrt{2}$

(2) $a = \sqrt{3}$