$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\cos\theta = -\frac{1}{5}$が与えられている。このとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\cos\theta = -\frac{1}{5}$が与えられている。このとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用する。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の関係を用いる。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$

$\sin\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta}$

$\cos\theta = -\frac{1}{5}$を代入して$\sin\theta$を求める。

$\sin^2\theta = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲では、$\sin\theta \ge 0$なので、

$\sin\theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan\theta$を求める。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$の関係を用いる。

$\tan\theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \times (-5) = -2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan\theta = -2\sqrt{6}$