右の図は円錐とその展開図である。 (1) 展開図のおうぎ形の中心角の大きさを求めよ。 (2) 円錐の側面積を求めよ。 (3) 円錐の表面積を求めよ。 ただし、円周率は $\pi$ とする。

1. 問題の内容

右の図は円錐とその展開図である。

(1) 展開図のおうぎ形の中心角の大きさを求めよ。

(2) 円錐の側面積を求めよ。

(3) 円錐の表面積を求めよ。

ただし、円周率は $\pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) おうぎ形の中心角を求める。

円錐の底面の円周は、おうぎ形の弧の長さに等しい。

円錐の底面の半径は 8cm なので、円周は $2 \pi \times 8 = 16\pi$ cm。

おうぎ形の半径は 16cm なので、おうぎ形の円周は $2 \pi \times 16 = 32\pi$ cm。

おうぎ形の中心角を $x$ 度とすると、

$\frac{x}{360} \times 32\pi = 16\pi$

$x = \frac{16\pi}{32\pi} \times 360$

$x = \frac{1}{2} \times 360$

$x = 180$ 度

(2) 円錐の側面積を求める。

円錐の側面積は、展開図のおうぎ形の面積に等しい。

おうぎ形の面積は $\pi \times (\text{半径})^2 \times \frac{\text{中心角}}{360}$ で求められる。

おうぎ形の半径は 16cm で、中心角は 180度なので、側面積は

$\pi \times 16^2 \times \frac{180}{360} = \pi \times 256 \times \frac{1}{2} = 128\pi$ 平方cm。

または、

$\frac{1}{2} \times (\text{おうぎ形の弧の長さ}) \times (\text{半径})$

$\frac{1}{2} \times 16\pi \times 16 = 128\pi$ 平方cm

(3) 円錐の表面積を求める。

円錐の表面積は、側面積と底面積の和である。

底面積は、半径 8cm の円の面積なので、$\pi \times 8^2 = 64\pi$ 平方cm。

表面積は $128\pi + 64\pi = 192\pi$ 平方cm。

3. 最終的な答え

(1) 180度

(2) $128\pi$ 平方cm

(3) $192\pi$ 平方cm