円 $x^2 + y^2 \le 4$ が直線 $x + 3y \le k$ の十分条件となるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 \le 4$ が直線 $x + 3y \le k$ の十分条件となるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 \le 4$ が直線 $x + 3y \le k$ の十分条件であるということは、円が直線に含まれることを意味します。

つまり、円が直線に含まれるためには、円の領域が直線 $x + 3y = k$ によって完全に覆われている必要があります。

この条件が成り立つのは、円の中心から直線までの距離が円の半径以下であるときです。

円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $2$ です。

点 $(0, 0)$ から直線 $x + 3y - k = 0$ までの距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

ここで、$(x_1, y_1) = (0, 0)$、$a = 1$、$b = 3$、$c = -k$ なので、

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{10}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

円が直線に含まれるための条件は、$d \le 2$ なので、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} \le 2$

$|k| \le 2\sqrt{10}$

$-2\sqrt{10} \le k \le 2\sqrt{10}$

円 $x^2 + y^2 \le 4$ が $x + 3y \le k$ の十分条件になるためには、$x + 3y \le k$ が円を包含しなければなりません。したがって、$k$ の値は、$x + 3y$ の円上の最大値以上でなければなりません。

$x + 3y$ の最大値を求めるために、コーシー・シュワルツの不等式を利用します。

$(1^2 + 3^2)(x^2 + y^2) \ge (x + 3y)^2$

$10(x^2 + y^2) \ge (x + 3y)^2$

$x^2 + y^2 \le 4$ より、

$10(4) \ge (x + 3y)^2$

$40 \ge (x + 3y)^2$

$-\sqrt{40} \le x + 3y \le \sqrt{40}$

$-2\sqrt{10} \le x + 3y \le 2\sqrt{10}$

$x + 3y$ の最大値は $2\sqrt{10}$ であるため、$k \ge 2\sqrt{10}$ が必要です。

したがって、$k$ の範囲は $k \ge 2\sqrt{10}$ となります。

3. 最終的な答え

$k \ge 2\sqrt{10}$