与えられた各円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。円の方程式は一般に $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で表され、ここで $(a, b)$ が円の中心の座標、$r$ が半径です。

はい、承知いたしました。円の方程式の質問ですね。

1. 問題の内容

与えられた各円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。円の方程式は一般に $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で表され、ここで $(a, b)$ が円の中心の座標、$r$ が半径です。

2. 解き方の手順

各方程式を $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形するために、平方完成を利用します。平方完成とは、$x^2 + px$ を $(x + p/2)^2 - (p/2)^2$ の形に変形することです。yについても同様に行います。

以下に、各問題の解き方を示します。

(1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$

$x^2 + 2x + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 1$

中心: $(-1, 0)$, 半径: $1$

(2) $x^2 + y^2 - 6y = 0$

$x^2 + y^2 - 6y = 0$

$x^2 + (y - 3)^2 - 9 = 0$

$x^2 + (y - 3)^2 = 9$

中心: $(0, 3)$, 半径: $3$

(3) $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 6y = 3$

$(x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 3$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

中心: $(2, 3)$, 半径: $4$

(4) $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$

$x^2 + 2x + y^2 - 4y = 4$

$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 4$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

中心: $(-1, 2)$, 半径: $3$

(5) $x^2 + y^2 + 8x + 2y - 8 = 0$

$x^2 + 8x + y^2 + 2y = 8$

$(x + 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 = 8$

$(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$

中心: $(-4, -1)$, 半径: $5$

(6) $x^2 + y^2 + 10x + 6y - 1 = 0$

$x^2 + 10x + y^2 + 6y = 1$

$(x + 5)^2 - 25 + (y + 3)^2 - 9 = 1$

$(x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 35$

中心: $(-5, -3)$, 半径: $\sqrt{35}$

(7) $x^2 + y^2 - 3x + 2y + 1 = 0$

$x^2 - 3x + y^2 + 2y = -1$

$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y + 1)^2 - 1 = -1$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + 1)^2 = \frac{9}{4}$

中心: $(\frac{3}{2}, -1)$, 半径: $\frac{3}{2}$

(8) $x^2 + y^2 - x + 3y + 2 = 0$

$x^2 - x + y^2 + 3y = -2$

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = -2$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 2 = \frac{10}{4} - \frac{8}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

中心: $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$, 半径: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-1, 0)$, 半径: $1$

(2) 中心: $(0, 3)$, 半径: $3$

(3) 中心: $(2, 3)$, 半径: $4$

(4) 中心: $(-1, 2)$, 半径: $3$

(5) 中心: $(-4, -1)$, 半径: $5$

(6) 中心: $(-5, -3)$, 半径: $\sqrt{35}$

(7) 中心: $(\frac{3}{2}, -1)$, 半径: $\frac{3}{2}$

(8) 中心: $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$, 半径: $\frac{\sqrt{2}}{2}$