与えられた条件を満たす方程式または座標を求める問題です。 (1) 2点 $A(-1, 2)$ と $B(7, 6)$ に対して、線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点の座標を求める。 (2) 2点 $(-3, -2)$ と $(5, 4)$ を通る直線の方程式を求める。 (3) 点 $(5, 2)$ を通り、直線 $2x - 3y + 1 = 0$ に平行な直線の方程式を求める。 (4) 原点を通り、直線 $x + 3y + 8 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。 (5) 点 $(1, -2)$ と直線 $x + 2y + 1 = 0$ の距離を求める。 (6) 中心の座標が $(-2, 1)$、半径3の円の方程式を求める。 (7) 中心の座標が $(3, -4)$ で $x$ 軸と接する円の方程式を求める。 (8) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $(2, -1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす方程式または座標を求める問題です。

(1) 2点 $A(-1, 2)$ と $B(7, 6)$ に対して、線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点の座標を求める。

(2) 2点 $(-3, -2)$ と $(5, 4)$ を通る直線の方程式を求める。

(3) 点 $(5, 2)$ を通り、直線 $2x - 3y + 1 = 0$ に平行な直線の方程式を求める。

(4) 原点を通り、直線 $x + 3y + 8 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。

(5) 点 $(1, -2)$ と直線 $x + 2y + 1 = 0$ の距離を求める。

(6) 中心の座標が $(-2, 1)$、半径3の円の方程式を求める。

(7) 中心の座標が $(3, -4)$ で $x$ 軸と接する円の方程式を求める。

(8) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $(2, -1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分を内分する点の座標の公式を利用します。$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点の座標は $(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$ で表されます。

$A(-1, 2)$, $B(7, 6)$ を $1:3$ に内分する点の座標は $(\frac{3(-1) + 1(7)}{1+3}, \frac{3(2) + 1(6)}{1+3}) = (\frac{-3 + 7}{4}, \frac{6 + 6}{4}) = (\frac{4}{4}, \frac{12}{4}) = (1, 3)$

(2) 2点を通る直線の方程式を求めるには、まず傾きを求めます。傾き $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ であり、点 $(-3, -2)$ と $(5, 4)$ を通る直線の傾きは $m = \frac{4 - (-2)}{5 - (-3)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ です。

点 $(-3, -2)$ と傾き $m = \frac{3}{4}$ を用いて、直線の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を求めます。

$y - (-2) = \frac{3}{4}(x - (-3))$

$y + 2 = \frac{3}{4}(x + 3)$

$4(y + 2) = 3(x + 3)$

$4y + 8 = 3x + 9$

$3x - 4y + 1 = 0$

(3) 平行な直線の傾きは等しいので、直線 $2x - 3y + 1 = 0$ と平行な直線の傾きを求めます。

$3y = 2x + 1$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$

傾きは $\frac{2}{3}$ です。点 $(5, 2)$ を通り、傾き $\frac{2}{3}$ の直線の方程式を求めます。

$y - 2 = \frac{2}{3}(x - 5)$

$3(y - 2) = 2(x - 5)$

$3y - 6 = 2x - 10$

$2x - 3y - 4 = 0$

(4) 垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、直線 $x + 3y + 8 = 0$ に垂直な直線の傾きを求めます。

$3y = -x - 8$

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{8}{3}$

傾きは $-\frac{1}{3}$ です。したがって、垂直な直線の傾きは $3$ です。

原点 $(0, 0)$ を通り、傾き $3$ の直線の方程式は $y = 3x$ です。

(5) 点と直線の距離の公式を利用します。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で表されます。

点 $(1, -2)$ と直線 $x + 2y + 1 = 0$ の距離は $\frac{|1(1) + 2(-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(6) 中心の座標が $(h, k)$、半径 $r$ の円の方程式は $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で表されます。

中心 $(-2, 1)$、半径 $3$ の円の方程式は $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2 = 9$ です。

(7) 中心が $(3, -4)$ で $x$ 軸に接する円の半径は $|-4| = 4$ です。したがって、円の方程式は $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 4^2 = 16$ です。

(8) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で表されます。

円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $(2, -1)$ における接線の方程式は $2x - y = 5$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(1, 3)$

(2) $3x - 4y + 1 = 0$

(3) $2x - 3y - 4 = 0$

(4) $y = 3x$

(5) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(6) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

(7) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$

(8) $2x - y = 5$