与えられた円と直線の共有点の座標を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $x^2 + y^2 = 16$, $y = x - 4$ (2) $x^2 + y^2 = 25$, $y = -2x + 2$ (3) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$, $x + 2y - 3 = 0$ (4) $x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0$, $3x - y - 10 = 0$

1. 問題の内容

与えられた円と直線の共有点の座標を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $x^2 + y^2 = 16$, $y = x - 4$

(2) $x^2 + y^2 = 25$, $y = -2x + 2$

(3) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$, $x + 2y - 3 = 0$

(4) $x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0$, $3x - y - 10 = 0$

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下の手順で共有点の座標を求めます。

(1) $x^2 + y^2 = 16$, $y = x - 4$

直線の方程式を円の方程式に代入します。

$x^2 + (x - 4)^2 = 16$

$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 16$

$2x^2 - 8x = 0$

$2x(x - 4) = 0$

$x = 0$ または $x = 4$

$x = 0$ のとき、$y = 0 - 4 = -4$

$x = 4$ のとき、$y = 4 - 4 = 0$

したがって、共有点の座標は $(0, -4)$ と $(4, 0)$ です。

(2) $x^2 + y^2 = 25$, $y = -2x + 2$

直線の方程式を円の方程式に代入します。

$x^2 + (-2x + 2)^2 = 25$

$x^2 + 4x^2 - 8x + 4 = 25$

$5x^2 - 8x - 21 = 0$

$(5x + 7)(x - 3) = 0$

$x = -\frac{7}{5}$ または $x = 3$

$x = -\frac{7}{5}$ のとき、$y = -2(-\frac{7}{5}) + 2 = \frac{14}{5} + \frac{10}{5} = \frac{24}{5}$

$x = 3$ のとき、$y = -2(3) + 2 = -6 + 2 = -4$

したがって、共有点の座標は $(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5})$ と $(3, -4)$ です。

(3) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$, $x + 2y - 3 = 0$

直線の方程式より、$x = 3 - 2y$

円の方程式に代入します。

$(3 - 2y)^2 + y^2 - 4(3 - 2y) - 2y + 4 = 0$

$9 - 12y + 4y^2 + y^2 - 12 + 8y - 2y + 4 = 0$

$5y^2 - 6y + 1 = 0$

$(5y - 1)(y - 1) = 0$

$y = \frac{1}{5}$ または $y = 1$

$y = \frac{1}{5}$ のとき、$x = 3 - 2(\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$

$y = 1$ のとき、$x = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

したがって、共有点の座標は $(\frac{13}{5}, \frac{1}{5})$ と $(1, 1)$ です。

(4) $x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0$, $3x - y - 10 = 0$

直線の方程式より、$y = 3x - 10$

円の方程式に代入します。

$x^2 + (3x - 10)^2 - 2x - 6(3x - 10) = 0$

$x^2 + 9x^2 - 60x + 100 - 2x - 18x + 60 = 0$

$10x^2 - 80x + 160 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

$y = 3(4) - 10 = 12 - 10 = 2$

したがって、共有点の座標は $(4, 2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(0, -4)$, $(4, 0)$

(2) $(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5})$, $(3, -4)$

(3) $(\frac{13}{5}, \frac{1}{5})$, $(1, 1)$

(4) $(4, 2)$