一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDの4つの面の三角形ABC, 三角形ABD, 三角形ACD, 三角形BCDの重心をそれぞれL, K, M, Nとする。辺BC, CDの中点をそれぞれI, Jとするとき、AL:LI, AM:MJ, およびLMを $a$ で表す問題を解く。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDの4つの面の三角形ABC, 三角形ABD, 三角形ACD, 三角形BCDの重心をそれぞれL, K, M, Nとする。辺BC, CDの中点をそれぞれI, Jとするとき、AL:LI, AM:MJ, およびLMを $a$ で表す問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、正三角形の重心は、中線を2:1に内分する点である。

三角形ABCにおいて、IはBCの中点なので、AIは中線である。Lは三角形ABCの重心なので、AL:LI = 2:1である。

同様に、三角形ACDにおいて、JはCDの中点なので、AJは中線である。Mは三角形ACDの重心なので、AM:MJ = 2:1である。

次に、LMの長さを求める。

Lは三角形ABCの重心なので、AL = (2/3)AI。

Mは三角形ACDの重心なので、AM = (2/3)AJ。

三角形AICと三角形AJDは合同である。(AC=AD, CI=DJ, AI=AJ) よってAI = AJ.

また、三角形ALMにおいて、AL = AM.

三角形ABCにおいて、AI = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。したがって、AL = $\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

三角形ALMにおいて, 角LAM=CAD=60度, AL=AMより, 三角形ALMは正三角形である.

よってLM=AL=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$.

3. 最終的な答え

AL:LI = 2

AM:MJ = 2

LM = $\frac{\sqrt{3}}{3} a$