三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC, 辺OBを1:3に内分する点をD, 辺ABを3:2に内分する点をEとする。 $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OE}$をそれぞれ$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表す。 また、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表す。 さらに、3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$t$の値を求め、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OE}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC, 辺OBを1:3に内分する点をD, 辺ABを3:2に内分する点をEとする。

$\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OE}$をそれぞれ$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表す。

また、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表す。

さらに、3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$t$の値を求め、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OE}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点C, D, Eの位置ベクトルを求める。

CはOAを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OA}$

よって、アは2, イは3。

DはOBを1:3に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OB}$

よって、ウは1, エは4。

EはABを3:2に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{3+2} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$

よって、オは2, キは3, カは5。

次に、点Pの位置ベクトルを求める。

PはCDを$t:(1-t)$に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OD} = (1-t) \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + t \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} = \frac{2(1-t)}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{t}{4} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{8(1-t)}{12} \overrightarrow{OA} + \frac{3t}{12} \overrightarrow{OB}$

よって、クは8, ケは12, コは1, サは3, シは12。

3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OE}$を満たす実数kが存在する。

$\frac{8(1-t)}{12} \overrightarrow{OA} + \frac{3t}{12} \overrightarrow{OB} = k (\frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{5}\overrightarrow{OB})$

係数を比較して、

$\frac{8(1-t)}{12} = \frac{2}{5}k$

$\frac{3t}{12} = \frac{3}{5}k$

この2式からkを消去すると、

$\frac{8(1-t)}{12} \div \frac{3t}{12} = \frac{2}{5} \div \frac{3}{5}$

$\frac{8(1-t)}{3t} = \frac{2}{3}$

$24(1-t) = 6t$

$24 - 24t = 6t$

$30t = 24$

$t = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

よって、スは4, セは5。

$t = \frac{4}{5}$を$\overrightarrow{OP} = \frac{3t}{12} = \frac{k3}{5} \overrightarrow{OB}$ に代入すると、

$\frac{3 \times \frac{4}{5}}{12} = \frac{1}{5} = \frac{3k}{5}$

$1 = 3k$

$k = \frac{1}{3}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OE}$

よって、ソは1, タは3。

3. 最終的な答え

ア:2, イ:3, ウ:1, エ:4, オ:2, キ:3, カ:5

ク:8, ケ:12, コ:1, サ:3, シ:12

ス:4, セ:5

ソ:1, タ:3