一辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD の各面の重心をそれぞれ L, K, M, N とするとき、 (ア) AL:LI, AM:MJ, LM の長さを $a$ を用いて表す。 (イ) 四面体 ABCD と四面体 KLMN の相似比を求める。 (ウ) 四面体 ABCD の体積を $V$ とするとき、四面体 KLMN の体積を $V$ を用いて表す。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD の各面の重心をそれぞれ L, K, M, N とするとき、

(ア) AL:LI, AM:MJ, LM の長さを $a$ を用いて表す。

(イ) 四面体 ABCD と四面体 KLMN の相似比を求める。

(ウ) 四面体 ABCD の体積を $V$ とするとき、四面体 KLMN の体積を $V$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(ア) L は三角形 ABC の重心なので、AL は中線 AI の $\frac{2}{3}$ である。

よって、AL:LI = 2:1

同様に、M は三角形 ACD の重心なので、AM:MJ = 2:1

また、AL = $\frac{2}{3} AI$ であり、$AI = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ なので、

$AL = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a$

同様に、$AM = \frac{\sqrt{3}}{3} a$

三角形 ALM において、$\angle LAM = \angle BAC = 60^{\circ}$ であるから、余弦定理より

$LM^2 = AL^2 + AM^2 - 2 \times AL \times AM \times \cos 60^{\circ}$

$LM^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3} a)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3} a)^2 - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3} a \times \frac{\sqrt{3}}{3} a \times \frac{1}{2}$

$LM^2 = \frac{3}{9} a^2 + \frac{3}{9} a^2 - \frac{3}{9} a^2 = \frac{3}{9} a^2 = \frac{1}{3} a^2$

$LM = \sqrt{\frac{1}{3} a^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a$

(イ) 四面体 ABCD と四面体 KLMN の相似比は、対応する辺の長さの比で表される。

すなわち、AB:KL であり、AB = a, KL = LM = $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ である。

したがって、相似比は $a : \frac{\sqrt{3}}{3} a = 1 : \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} : 1$

すなわち $AB : KL = 3:1$

(ウ) 体積比は相似比の３乗なので、

$V : V_{KLMN} = (\sqrt{3})^3 : 1^3 = 3\sqrt{3} : 1$

$V_{KLMN} = \frac{1}{3\sqrt{3}} V = \frac{\sqrt{3}}{9} V$

3. 最終的な答え

ア：2:1

イ：2:1

ウ：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

エ：3:1

オ：$\frac{1}{27}V$