一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHの各面の正方形の対角線の交点をP, Q, R, S, T, Uとする。この立方体を8つの平面（平面PRS,平面PST,平面PTU,平面PUR,平面QRS,平面QST,平面QTU,平面QUR）で切ると正八面体PQRSTUが得られる。四角形RSTUの一辺の長さ、線分PQの中点をMとしたときのPMの長さ、四角錐P-RSTUの体積、そして正八面体PQRSTUの体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHの各面の正方形の対角線の交点をP, Q, R, S, T, Uとする。この立方体を8つの平面（平面PRS,平面PST,平面PTU,平面PUR,平面QRS,平面QST,平面QTU,平面QUR）で切ると正八面体PQRSTUが得られる。四角形RSTUの一辺の長さ、線分PQの中点をMとしたときのPMの長さ、四角錐P-RSTUの体積、そして正八面体PQRSTUの体積を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 四角形RSTUは正方形である。立方体の一辺の長さは2なので、正方形RSTUの一辺の長さは、正方形EFGHの一辺の長さの半分に相当する。従って、四角形RSTUの一辺の長さは、正方形EFGHの一辺の長さの半分になるため、$\sqrt{2}$となる。

(イ) 線分PQの中点をMとする。PMの長さは、立方体の高さの半分である。立方体の一辺の長さは2なので、PM = 1

(ウ) 四角錐P-RSTUの体積を求める。底面は正方形RSTUであり、高さはPMである。

四角錐の体積は、

$V = \frac{1}{3} \times 底面積 \times 高さ$

底面積 = $(\sqrt{2})^2 = 2$

高さ = PM = 1

従って、$V = \frac{1}{3} \times 2 \times 1 = \frac{2}{3}$

(エ) 正八面体PQRSTUの体積を求める。正八面体は、四角錐P-RSTUと四角錐Q-RSTUを合わせたものである。

従って、正八面体の体積は、四角錐P-RSTUの体積の2倍になる。

正八面体の体積 = $2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

ア: $\sqrt{2}$

イ: 1

ウ: $\frac{2}{3}$

エ: $\frac{4}{3}$