点A(0, 2, 1)と点B(1, 2, -1)を通る直線ABに、原点O(0, 0, 0)から下ろした垂線と直線ABの交点Hの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(0, 2, 1)と点B(1, 2, -1)を通る直線ABに、原点O(0, 0, 0)から下ろした垂線と直線ABの交点Hの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1：直線ABの方向ベクトルを求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1, 2, -1) - (0, 2, 1) = (1, 0, -2)$

ステップ2：直線AB上の点Hをパラメータ表示する。

直線AB上の点は、実数パラメータ $t$ を用いて次のように表すことができます。

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{AB} = (0, 2, 1) + t(1, 0, -2) = (t, 2, 1-2t)$

よって、点Hの座標は $H(t, 2, 1-2t)$ と表せます。

ステップ3：$\vec{OH}$ と $\vec{AB}$ が直交する条件を求める。

$\vec{OH}$ と $\vec{AB}$ が直交するとき、内積は0になります。

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$

$(t, 2, 1-2t) \cdot (1, 0, -2) = 0$

$t + 0 -2(1-2t) = 0$

$t -2 + 4t = 0$

$5t = 2$

$t = \frac{2}{5}$

ステップ4：点Hの座標を求める。

$t = \frac{2}{5}$ を $H(t, 2, 1-2t)$ に代入します。

$H(\frac{2}{5}, 2, 1-2(\frac{2}{5})) = H(\frac{2}{5}, 2, 1-\frac{4}{5}) = H(\frac{2}{5}, 2, \frac{1}{5})$

3. 最終的な答え

点Hの座標は $(\frac{2}{5}, 2, \frac{1}{5})$ です。