正六面体 ABCD-EFGH に正四面体 BDEG が内接している。正四面体 BDEG の体積が $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、正四面体 BDEG の一辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正六面体 ABCD-EFGH に正四面体 BDEG が内接している。正四面体 BDEG の体積が $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、正四面体 BDEG の一辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正四面体の一辺の長さを $a$ とおく。正四面体の体積 $V$ は、以下の式で表される。

$$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$$

問題文より、$V = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ であるから、

$$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、

$$\frac{1}{12} a^3 = \frac{2}{3}$$

両辺に 12 をかけると、

$$a^3 = \frac{2}{3} \times 12 = 8$$

したがって、$a = \sqrt[3]{8} = 2$ である。

3. 最終的な答え

正四面体の一辺の長さは 2 である。