三角形OABが与えられており、以下の2つの条件を満たしています。 条件1: $AB = 2OA$ 条件2: $\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$ $z = \frac{\beta}{\alpha}$を求め、条件1と条件2を満たす複素数$z$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形OABが与えられており、以下の2つの条件を満たしています。

条件1: $AB = 2OA$

条件2: $\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$

$z = \frac{\beta}{\alpha}$を求め、条件1と条件2を満たす複素数$z$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$AB = |\beta - \alpha|$、$OA = |\alpha|$であることから、条件1より

$|\beta - \alpha| = 2|\alpha|$

両辺を $|\alpha|$ で割ると

$\left| \frac{\beta}{\alpha} - 1 \right| = 2$

$z = \frac{\beta}{\alpha}$とおくと、$|z - 1| = 2$となるので、$z$は複素数平面上で点1を中心とする半径2の円周上にあることがわかります。

また、$\beta = z\alpha$であるから、条件2より

$\angle AOB = \arg \frac{\beta}{\alpha} = \arg z = \frac{2}{3}\pi$

$|z| = r > 0$とおくと、$z = r(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)$と表されます。

$\cos\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}$、$\sin\frac{2}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから

$z = r(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{r}{2} + i\frac{r\sqrt{3}}{2}$

$z = x + yi$（$x$, $y$は実数）とおくと、$x = -\frac{r}{2}$, $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$

$r = -2x$なので、$y = \frac{-2x\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x$

$y = -\sqrt{3}x$ ($x < 0$)が成り立ちます。

$|z - 1| = 2$を満たすためには、

$|x + yi - 1| = 2$

$|(x-1) + yi| = 2$

$(x-1)^2 + y^2 = 4$

$x^2 - 2x + 1 + (-\sqrt{3}x)^2 = 4$

$x^2 - 2x + 1 + 3x^2 = 4$

$4x^2 - 2x - 3 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\cdot4\cdot3}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

$x < 0$なので、$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

$y = -\sqrt{3}x = -\sqrt{3}\frac{1 - \sqrt{13}}{4} = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{39}}{4}$

したがって、$z = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} + \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{39}}{4}i$

3. 最終的な答え

カ: 2

キ: 1

ク: 1

ケ: 2

コサ: -1

シ: 2

ス: 3

セ: 2

ソ: -

タ: 1

チ: 13

テ: 4

ト: 3

ナニ: 39

ヌ: 4

$z = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} + \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{39}}{4}i$