右の図において、点Pはx軸上の点である。点Pを通りy軸に平行な直線と、2つの直線 $y = \frac{1}{3}x + 9$ (直線①)と $y = x - 3$ (直線②)との交点をそれぞれQ、Rとする。 (1) Rが線分AB上にあるとき、$PR = QR$ となる点Pの座標を求めよ。 (2) RがAより右にあるとき、$QR = 4$ となる点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

右の図において、点Pはx軸上の点である。点Pを通りy軸に平行な直線と、2つの直線 $y = \frac{1}{3}x + 9$ (直線①)と $y = x - 3$ (直線②)との交点をそれぞれQ、Rとする。

(1) Rが線分AB上にあるとき、$PR = QR$ となる点Pの座標を求めよ。

(2) RがAより右にあるとき、$QR = 4$ となる点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pのx座標を $p$ とすると、Pの座標は $(p, 0)$ である。

直線①と直線②の交点Aの座標を求める。

$\frac{1}{3}x + 9 = x - 3$

$x + 27 = 3x - 9$

$2x = 36$

$x = 18$

$y = 18 - 3 = 15$

よって、Aの座標は $(18, 15)$ である。

QとRのy座標は、それぞれ $y = \frac{1}{3}p + 9$ と $y = p - 3$ である。

したがって、Qの座標は $(p, \frac{1}{3}p + 9)$ で、Rの座標は $(p, p - 3)$ である。

$PR = |p - 3 - 0| = |p - 3|$

$QR = |\frac{1}{3}p + 9 - (p - 3)| = |-\frac{2}{3}p + 12|$

$PR = QR$ より、

$|p - 3| = |-\frac{2}{3}p + 12|$

(i) $p - 3 = -\frac{2}{3}p + 12$ のとき

$\frac{5}{3}p = 15$

$p = 9$

Rの座標は $(9, 6)$ で、これはAより左にあるので、条件を満たす。

(ii) $p - 3 = \frac{2}{3}p - 12$ のとき

$\frac{1}{3}p = -9$

$p = -27$

Rの座標は $(-27, -30)$ で、これは線分AB上にはないので、条件を満たさない。

(2)

$QR = |\frac{1}{3}p + 9 - (p - 3)| = |-\frac{2}{3}p + 12| = 4$

(i) $-\frac{2}{3}p + 12 = 4$ のとき

$-\frac{2}{3}p = -8$

$p = 12$

Rの座標は $(12, 9)$ であり、A(18, 15) より左にあるため、不適。

(ii) $-\frac{2}{3}p + 12 = -4$ のとき

$-\frac{2}{3}p = -16$

$p = 24$

Rの座標は $(24, 21)$ であり、A(18, 15) より右にあるため、適する。

3. 最終的な答え

(1) $(9, 0)$

(2) $(24, 0)$