正八面体ABCDEFの各辺の中点を結んで直方体PQRSP'Q'R'S'を作る。四角形PQRSと四角形BCDEの相似比、AF:PP'、および正八面体ABCDEFの体積をVとしたときの直方体PQRSP'Q'R'S'の体積を求める。

1. 問題の内容

正八面体ABCDEFの各辺の中点を結んで直方体PQRSP'Q'R'S'を作る。四角形PQRSと四角形BCDEの相似比、AF:PP'、および正八面体ABCDEFの体積をVとしたときの直方体PQRSP'Q'R'S'の体積を求める。

2. 解き方の手順

四角形PQRSはBCDEの中点を結んだ四角形なので、PQRSとBCDEは相似であり、相似比は1:2である。

$PQ:BC = 1:2$

$QR:CD = 1:2$

$RS:DE = 1:2$

$SP:EB = 1:2$

したがって、四角形PQRSと四角形BCDEの相似比は1:2である。

正八面体の頂点AとFを結ぶ線分AFと、直方体の底面P'Q'R'S'の高さPP'の比を考える。AFは正八面体の高さに相当し、P,Q,R,Sは各辺の中点であるから、直方体の高さは正八面体の高さの半分になる。つまり、AF:PP'=2:1である。

正八面体の体積をVとする。正八面体は2つの合同な四角錐を底面で貼り合わせたものと見なせる。正八面体の1辺の長さを$a$とすると、四角錐の底面は正方形で、その面積は$a^2$である。正八面体の高さは$\sqrt{2}a$なので、四角錐の高さは$\frac{\sqrt{2}}{2}a$である。したがって、四角錐の体積は$\frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3$である。正八面体は2つの四角錐からなるので、その体積は$V = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$となる。

直方体の底面は正方形で、その1辺の長さは正八面体の1辺の長さの半分なので、$\frac{a}{2}$である。直方体の高さも正八面体の高さの半分なので、$\frac{\sqrt{2}}{2}a$である。したがって、直方体の体積は$(\frac{a}{2})^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{a^2}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{8}a^3$である。

直方体の体積を$V'$とすると、$V' = \frac{\sqrt{2}}{8}a^3$である。

$V' = (\frac{\sqrt{2}}{8})/(\frac{\sqrt{2}}{3})V = \frac{3}{8}V$

3. 最終的な答え

ア: 1:2

イ: 2:1

ウ: 3/8