正四面体ABCDの各頂点において、その頂点に集まる3つの辺の中点を通る平面で正四面体の角を切り取って立体Xを作る。四面体ALMNと四面体ABCDの相似比と、正四面体ABCDの体積をVとしたときの立体Xの体積を求めよ。

1. 問題の内容

正四面体ABCDの各頂点において、その頂点に集まる3つの辺の中点を通る平面で正四面体の角を切り取って立体Xを作る。四面体ALMNと四面体ABCDの相似比と、正四面体ABCDの体積をVとしたときの立体Xの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、四面体ALMNと四面体ABCDの相似比を求める。点L, M, Nはそれぞれ辺AB, AC, ADの中点なので、$AL = \frac{1}{2}AB$となる。したがって、四面体ALMNと四面体ABCDの相似比は$1:2$、つまり$\frac{1}{2}$である。

次に、立体Xの体積を求める。正四面体ABCDの各頂点を切り取ると、合同な四面体が4つ切り取られる。これらの四面体は四面体ALMNと合同である。

四面体ALMNと四面体ABCDの相似比が$\frac{1}{2}$なので、体積比は$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$である。

したがって、四面体ALMNの体積は$\frac{1}{8}V$である。

立体Xは、正四面体ABCDから4つの四面体ALMNを切り取ったものなので、立体Xの体積は、

$V - 4 \times \frac{1}{8}V = V - \frac{1}{2}V = \frac{1}{2}V$となる。

3. 最終的な答え

四面体ALMNと四面体ABCDの相似比は$\frac{1}{2}$である。

立体Xの体積は$\frac{1}{2}V$である。