円と直線の共有点の座標を求める問題です。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $x^2 + y^2 = 4$, $y = -2x - 4$ (2) $x^2 + y^2 = 2$, $y = -x + 2$ (3) $x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0$, $2x - y + 3 = 0$ (4) $x^2 + y^2 - 10x + 2y + 21 = 0$, $x - 2y - 2 = 0$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

円と直線の共有点の座標を求める問題です。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $x^2 + y^2 = 4$, $y = -2x - 4$

(2) $x^2 + y^2 = 2$, $y = -x + 2$

(3) $x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0$, $2x - y + 3 = 0$

(4) $x^2 + y^2 - 10x + 2y + 21 = 0$, $x - 2y - 2 = 0$

2. 解き方の手順

各問題について、直線の方程式を円の方程式に代入し、得られた二次方程式を解くことで、共有点のx座標を求めます。その後、元の直線の方程式にx座標を代入して、対応するy座標を求めます。

(1) $y = -2x - 4$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入します。

$x^2 + (-2x - 4)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 16x + 16 = 4$

$5x^2 + 16x + 12 = 0$

$(5x + 6)(x + 2) = 0$

$x = -\frac{6}{5}, -2$

$x = -\frac{6}{5}$ のとき、$y = -2(-\frac{6}{5}) - 4 = \frac{12}{5} - \frac{20}{5} = -\frac{8}{5}$

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$

(2) $y = -x + 2$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入します。

$x^2 + (-x + 2)^2 = 2$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -1 + 2 = 1$

(3) $y = 2x + 3$ を $x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0$ に代入します。

$x^2 + (2x + 3)^2 + 2x + 4(2x + 3) = 0$

$x^2 + 4x^2 + 12x + 9 + 2x + 8x + 12 = 0$

$5x^2 + 22x + 21 = 0$

$(5x + 7)(x + 3) = 0$

$x = -\frac{7}{5}, -3$

$x = -\frac{7}{5}$ のとき、$y = 2(-\frac{7}{5}) + 3 = -\frac{14}{5} + \frac{15}{5} = \frac{1}{5}$

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3) + 3 = -6 + 3 = -3$

(4) $x = 2y + 2$ を $x^2 + y^2 - 10x + 2y + 21 = 0$ に代入します。

$(2y + 2)^2 + y^2 - 10(2y + 2) + 2y + 21 = 0$

$4y^2 + 8y + 4 + y^2 - 20y - 20 + 2y + 21 = 0$

$5y^2 - 10y + 5 = 0$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y - 1)^2 = 0$

$y = 1$

$y = 1$ のとき、$x = 2(1) + 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $(-\frac{6}{5}, -\frac{8}{5})$, $(-2, 0)$

(2) $(1, 1)$

(3) $(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$, $(-3, -3)$

(4) $(4, 1)$