与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。具体的には、以下の8個の円の方程式について、それぞれ中心の座標と半径を求めます。 (1) $x^2 + y^2 - 2x = 0$ (2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$ (3) $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ (4) $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ (5) $x^2 + y^2 + 6x + 6y - 7 = 0$ (6) $x^2 + y^2 + 4x + 12y - 10 = 0$ (7) $x^2 + y^2 + 10x - 3y + 10 = 0$ (8) $x^2 + y^2 - 3x + 5y = 0$

1. 問題の内容

与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。具体的には、以下の8個の円の方程式について、それぞれ中心の座標と半径を求めます。

(1) $x^2 + y^2 - 2x = 0$

(2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$

(3) $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$

(4) $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$

(5) $x^2 + y^2 + 6x + 6y - 7 = 0$

(6) $x^2 + y^2 + 4x + 12y - 10 = 0$

(7) $x^2 + y^2 + 10x - 3y + 10 = 0$

(8) $x^2 + y^2 - 3x + 5y = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式は一般に $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ の形で表されます。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標、 $r$ は半径です。与えられた方程式をこの形に変形するために、平方完成を行います。

(1) $x^2 + y^2 - 2x = 0$

$(x^2 - 2x) + y^2 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + y^2 = 0$

$(x - 1)^2 + y^2 = 1$

中心: $(1, 0)$, 半径: $1$

(2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y) = 0$

$x^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0$

$x^2 + (y + 2)^2 = 4$

中心: $(0, -2)$, 半径: $2$

(3) $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2$

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = 2$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$

中心: $(1, 1)$, 半径: $2$

(4) $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 4$

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 4$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

中心: $(2, -1)$, 半径: $3$

(5) $x^2 + y^2 + 6x + 6y - 7 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 6y) = 7$

$(x + 3)^2 - 9 + (y + 3)^2 - 9 = 7$

$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

中心: $(-3, -3)$, 半径: $5$

(6) $x^2 + y^2 + 4x + 12y - 10 = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 + 12y) = 10$

$(x + 2)^2 - 4 + (y + 6)^2 - 36 = 10$

$(x + 2)^2 + (y + 6)^2 = 50$

中心: $(-2, -6)$, 半径: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(7) $x^2 + y^2 + 10x - 3y + 10 = 0$

$(x^2 + 10x) + (y^2 - 3y) = -10$

$(x + 5)^2 - 25 + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = -10$

$(x + 5)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 25 + \frac{9}{4} - 10 = 15 + \frac{9}{4} = \frac{69}{4}$

中心: $(-5, \frac{3}{2})$, 半径: $\sqrt{\frac{69}{4}} = \frac{\sqrt{69}}{2}$

(8) $x^2 + y^2 - 3x + 5y = 0$

$(x^2 - 3x) + (y^2 + 5y) = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$

中心: $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$, 半径: $\sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(1, 0)$, 半径: $1$

(2) 中心: $(0, -2)$, 半径: $2$

(3) 中心: $(1, 1)$, 半径: $2$

(4) 中心: $(2, -1)$, 半径: $3$

(5) 中心: $(-3, -3)$, 半径: $5$

(6) 中心: $(-2, -6)$, 半径: $5\sqrt{2}$

(7) 中心: $(-5, \frac{3}{2})$, 半径: $\frac{\sqrt{69}}{2}$

(8) 中心: $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$, 半径: $\frac{\sqrt{34}}{2}$