三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の8つの値を求める必要があります。 (1) $\sin \frac{2}{3}\pi$ (2) $\sin \frac{5}{4}\pi$ (3) $\sin (-\frac{3}{2}\pi)$ (4) $\cos \frac{7}{6}\pi$ (5) $\cos \frac{7}{4}\pi$ (6) $\cos 0$ (7) $\tan \frac{4}{3}\pi$ (8) $\tan (-\frac{5}{4}\pi)$

1. 問題の内容

三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の8つの値を求める必要があります。

(1) $\sin \frac{2}{3}\pi$

(2) $\sin \frac{5}{4}\pi$

(3) $\sin (-\frac{3}{2}\pi)$

(4) $\cos \frac{7}{6}\pi$

(5) $\cos \frac{7}{4}\pi$

(6) $\cos 0$

(7) $\tan \frac{4}{3}\pi$

(8) $\tan (-\frac{5}{4}\pi)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{2}{3}\pi$:

$\frac{2}{3}\pi$ は第2象限の角です。基準角は $\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{1}{3}\pi = 60^\circ$。したがって、

$\sin \frac{2}{3}\pi = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sin \frac{5}{4}\pi$:

$\frac{5}{4}\pi$ は第3象限の角です。基準角は $\frac{5}{4}\pi - \pi = \frac{1}{4}\pi = 45^\circ$。第3象限ではサインは負なので、

$\sin \frac{5}{4}\pi = - \sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\sin (-\frac{3}{2}\pi)$:

$-\frac{3}{2}\pi = -\frac{3}{2} \times 180^\circ = -270^\circ$。これは $90^\circ$ と同じ位置なので、

$\sin (-\frac{3}{2}\pi) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

(4) $\cos \frac{7}{6}\pi$:

$\frac{7}{6}\pi$ は第3象限の角です。基準角は $\frac{7}{6}\pi - \pi = \frac{1}{6}\pi = 30^\circ$。第3象限ではコサインは負なので、

$\cos \frac{7}{6}\pi = - \cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\cos \frac{7}{4}\pi$:

$\frac{7}{4}\pi$ は第4象限の角です。基準角は $2\pi - \frac{7}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi = 45^\circ$。第4象限ではコサインは正なので、

$\cos \frac{7}{4}\pi = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(6) $\cos 0$:

$\cos 0 = 1$

(7) $\tan \frac{4}{3}\pi$:

$\frac{4}{3}\pi$ は第3象限の角です。基準角は $\frac{4}{3}\pi - \pi = \frac{1}{3}\pi = 60^\circ$。第3象限ではタンジェントは正なので、

$\tan \frac{4}{3}\pi = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

(8) $\tan (-\frac{5}{4}\pi)$:

$-\frac{5}{4}\pi$ は第2象限の角です。基準角は $-\frac{5}{4}\pi + 2\pi = \frac{3}{4}\pi$。したがって、 $\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi = 45^\circ$。第2象限ではタンジェントは負なので、

$\tan (-\frac{5}{4}\pi) = -\tan (\pi - \frac{3}{4}\pi )= -\tan \frac{\pi}{4} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $1$

(4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(6) $1$

(7) $\sqrt{3}$

(8) $-1$