底面の半径が $r$ cm、高さが $h$ cmの円錐の体積を $V$ cm$^3$ とする。 (1) 円錐の体積 $V$ を求める公式を作る。 (2) (1)で求めた公式を変形して、円錐の高さ $h$ を求める式を作る。 (3) (2)で求めた式を使って、半径3cm、体積 $15\pi$ cm$^3$ の円錐の高さを求める。

1. 問題の内容

底面の半径が $r$ cm、高さが $h$ cmの円錐の体積を $V$ cm$^3$ とする。

(1) 円錐の体積 $V$ を求める公式を作る。

(2) (1)で求めた公式を変形して、円錐の高さ $h$ を求める式を作る。

(3) (2)で求めた式を使って、半径3cm、体積 $15\pi$ cm$^3$ の円錐の高さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の体積は、底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$ で求められる。

底面積は $\pi r^2$ なので、体積 $V$ は

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

(2) (1)で求めた公式 $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ を $h$ について解く。

両辺に3をかけると、

$3V = \pi r^2 h$

両辺を $\pi r^2$ で割ると、

$h = \frac{3V}{\pi r^2}$

(3) (2)で求めた式 $h = \frac{3V}{\pi r^2}$ に、$r = 3$ cm, $V = 15\pi$ cm$^3$ を代入する。

$h = \frac{3 \times 15\pi}{\pi \times 3^2} = \frac{45\pi}{9\pi} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

(2) $h = \frac{3V}{\pi r^2}$

(3) $h = 5$ cm