2つの直線が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ を $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で求めます。問題は (8) と (9) の2つです。ここでは問題(8)のみを解きます。

1. 問題の内容

2つの直線が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ を $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で求めます。問題は (8) と (9) の2つです。ここでは問題(8)のみを解きます。

2. 解き方の手順

(8) の2つの直線 $y = -\frac{1}{2}x$ と $y = 3x$ のなす角 $\theta$ を求めます。

まず、それぞれの直線の傾きを $m_1$ と $m_2$ とします。

$m_1 = -\frac{1}{2}$

$m_2 = 3$

2直線のなす角 $\theta$ の公式は次のとおりです。

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

この公式に $m_1$ と $m_2$ の値を代入します。

$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-\frac{1}{2})}{1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 3} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} \right|$

$\tan \theta = \left| -7 \right|$

$\tan \theta = 7$

$\theta = \arctan(7)$

ここで、$\arctan(7)$ は、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲に含まれます。

3. 最終的な答え

$\theta = \arctan(7)$