画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の5つの問題を解きます。 (1) $\triangle OAB$ と $\triangle OPQ$ があり、線分 $AB$ と $PQ$ の交点を $R$ とする。点 $P$ が線分 $OA$ を $4:1$ に内分し、点 $R$ が線分 $AB$ を $1:1$ に内分するとき、点 $B$ が線分 $OQ$ をどのように内分するかを求める。 (2) 四角形 $ABCD$ が内接する円があり、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAD = 105^\circ$, $\angle DCT' = 50^\circ$ であるとき、$\angle BDC$ を求める。 (3) 四角形 $ABCD$ が内接する円があり、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BDC = 75^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$ であるとき、$\angle BAD$ を求める。 (4) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA=10, PB=4, CD=3$ であるとき、$PC$ を求める。 (5) 半径が1の円に点 $P$ から接線を引き、接点を $A$ とする。また、円の中心を $O$ とするとき、線分 $PO$ と円との交点を $B$ とする。$PA = \sqrt{3}$ のとき、$PB$ を求める。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の5つの問題を解きます。

(1) $\triangle OAB$ と $\triangle OPQ$ があり、線分 $AB$ と $PQ$ の交点を $R$ とする。点 $P$ が線分 $OA$ を $4:1$ に内分し、点 $R$ が線分 $AB$ を $1:1$ に内分するとき、点 $B$ が線分 $OQ$ をどのように内分するかを求める。

(2) 四角形 $ABCD$ が内接する円があり、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAD = 105^\circ$, $\angle DCT' = 50^\circ$ であるとき、$\angle BDC$ を求める。

(3) 四角形 $ABCD$ が内接する円があり、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BDC = 75^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$ であるとき、$\angle BAD$ を求める。

(4) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA=10, PB=4, CD=3$ であるとき、$PC$ を求める。

(5) 半径が1の円に点 $P$ から接線を引き、接点を $A$ とする。また、円の中心を $O$ とするとき、線分 $PO$ と円との交点を $B$ とする。$PA = \sqrt{3}$ のとき、$PB$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) メネラウスの定理を $\triangle OAQ$ と直線 $BPR$ に対して適用すると、

$\frac{OB}{BQ} \cdot \frac{QR}{RP} \cdot \frac{PA}{AO} = 1$

$AR:RB = 1:1$より、$AR=RB$

$AP:PO = 4:1$より、$AP = 4PO$

$AO = AP+PO = 5PO$

$\frac{PA}{AO} = \frac{4PO}{5PO} = \frac{4}{5}$

$\frac{OB}{BQ} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{5} = 1$

$\frac{OB}{BQ} = \frac{5}{4}$

$OB:BQ = 5:4$

したがって、$OB:OQ = 5:9$

$BQ:OQ = 4:9$

よって、$B$ は $OQ$ を $5:4$ に内分する。

(2) 円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ なので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

接弦定理より、$\angle CAD = \angle DCT' = 50^\circ$

$\angle BCA = \angle BDC$

$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$

$\angle ACD = \angle ABD$

よって、$\angle BDC = \angle BCD - \angle ACD = 75^\circ - 50^\circ = 25^\circ$

(3) $\angle BDC = 75^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$ であるとき、$\angle BAD$ を求める。

円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD$

接弦定理より、$\angle CBD = \angle DCT' = 30^\circ$

$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$

$\angle BDC = 75^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC = 75^\circ$

$\triangle BCD$ において、$\angle CBD = 30^\circ$, $\angle BDC = 75^\circ$

よって、$\angle BCD = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

(4) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

$10 \cdot 4 = PC \cdot (PC+3)$

$PC^2 + 3PC - 40 = 0$

$(PC+8)(PC-5) = 0$

$PC = -8, 5$

$PC > 0$ より、$PC = 5$

(5) $PA = \sqrt{3}$，半径 $OA=1$

$\triangle OAP$ は直角三角形なので、$OP^2 = OA^2 + AP^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3 = 4$

$OP = \sqrt{4} = 2$

$OB = 1$ (半径)

$PB = OP - OB = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 5 : 4

(2) 25

(3) 105

(4) 5

(5) 1