三角形の外心に関する問題です。 (1) $\triangle ABC$ の外心を $O$ とするとき、$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle OAC = 70^\circ$ です。このとき、$\angle OCB = \alpha$, $\angle OBC = \beta$ を求めます。 (2) $\triangle ABC$ の外心を $O$ とするとき、$\angle OAB = \alpha$, $\angle OAC = 20^\circ$, $\angle OCB = 30^\circ$ です。このとき、$\angle OAB = \alpha$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形の外心に関する問題です。

(1) $\triangle ABC$ の外心を $O$ とするとき、$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle OAC = 70^\circ$ です。このとき、$\angle OCB = \alpha$, $\angle OBC = \beta$ を求めます。

(2) $\triangle ABC$ の外心を $O$ とするとき、$\angle OAB = \alpha$, $\angle OAC = 20^\circ$, $\angle OCB = 30^\circ$ です。このとき、$\angle OAB = \alpha$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 外心 $O$ は $\triangle ABC$ の外接円の中心なので、$OA = OB = OC$ です。

$\triangle OAB$ は $OA = OB$ の二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ$。よって、$\beta = 20^\circ$。

$\triangle OAC$ は $OA = OC$ の二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 70^\circ$。よって、$\alpha = 70^\circ$。

(2) 同様に、$OA = OB = OC$ です。

$\triangle OAC$ は $OA = OC$ の二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 20^\circ$。

$\triangle OBC$ は $OB = OC$ の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = 30^\circ$。

$\triangle OAB$ は $OA = OB$ の二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = \alpha$。

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = \alpha + 30^\circ$

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = \alpha + 20^\circ$

$\angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = 30^\circ + 20^\circ = 50^\circ$

$\triangle ABC$ の内角の和は $180^\circ$ なので、

$$(\alpha + 30^\circ) + (\alpha + 20^\circ) + 50^\circ = 180^\circ$$

$$2\alpha + 100^\circ = 180^\circ$$

$$2\alpha = 80^\circ$$

$$\alpha = 40^\circ$$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 70^\circ$, $\beta = 20^\circ$

(2) $\alpha = 40^\circ$