半径6cm、高さ16cmの円柱Aがある。円柱Aの半径を2倍、高さを半分にした円柱Bを作る。 (1) 円柱Bの体積は、円柱Aの体積の何倍か。 (2) 円柱Bの表面積は、円柱Aの表面積の何倍か。

1. 問題の内容

半径6cm、高さ16cmの円柱Aがある。円柱Aの半径を2倍、高さを半分にした円柱Bを作る。

(1) 円柱Bの体積は、円柱Aの体積の何倍か。

(2) 円柱Bの表面積は、円柱Aの表面積の何倍か。

2. 解き方の手順

(1)

円柱の体積は、$V = \pi r^2 h$ で計算できる。

円柱Aの体積を$V_A$、円柱Bの体積を$V_B$とする。

円柱Aの半径$r_A = 6$cm、高さ$h_A = 16$cmである。

円柱Bの半径$r_B = 2r_A = 2 \times 6 = 12$cm、高さ$h_B = \frac{1}{2} h_A = \frac{1}{2} \times 16 = 8$cmである。

$V_A = \pi r_A^2 h_A = \pi (6^2)(16) = 576\pi$

$V_B = \pi r_B^2 h_B = \pi (12^2)(8) = 1152\pi$

$\frac{V_B}{V_A} = \frac{1152\pi}{576\pi} = 2$

したがって、円柱Bの体積は円柱Aの体積の2倍である。

(2)

円柱の表面積は、$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$ で計算できる。

円柱Aの表面積を$S_A$、円柱Bの表面積を$S_B$とする。

$S_A = 2\pi r_A(r_A + h_A) = 2\pi(6)(6 + 16) = 2\pi(6)(22) = 264\pi$

$S_B = 2\pi r_B(r_B + h_B) = 2\pi(12)(12 + 8) = 2\pi(12)(20) = 480\pi$

$\frac{S_B}{S_A} = \frac{480\pi}{264\pi} = \frac{480}{264} = \frac{240}{132} = \frac{120}{66} = \frac{60}{33} = \frac{20}{11}$

したがって、円柱Bの表面積は円柱Aの表面積の$\frac{20}{11}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) 2倍

(2) $\frac{20}{11}$倍