円 $C_1: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$ と、円 $C_2: x^2 + (y-3)^2 = a^2$ が接するとき、$a$ の値を求めよ。 また、円 $C_1: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$ と、円 $C_3: x^2 + y^2 = b^2$ が共有点を持つとき、$b$ の値の範囲を求めよ。ただし、$a, b$ は正の定数である。

はい、承知しました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

円 $C_1: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$ と、円 $C_2: x^2 + (y-3)^2 = a^2$ が接するとき、$a$ の値を求めよ。

また、円 $C_1: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$ と、円 $C_3: x^2 + y^2 = b^2$ が共有点を持つとき、$b$ の値の範囲を求めよ。ただし、$a, b$ は正の定数である。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円 $C_1$ と $C_2$ が接する条件について考えます。

円 $C_1$ の中心は $(-2, 1)$ で、半径は $1$ です。

円 $C_2$ の中心は $(0, 3)$ で、半径は $a$ です。

2つの円が接するためには、中心間の距離が、半径の和または差に等しくなる必要があります。中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、$|1-a| \leq d \leq a+1$ つまり、 $|a-1| = 2\sqrt{2}$ または $a+1 = 2\sqrt{2}$ です。

$|a-1| = 2\sqrt{2}$ より、$a - 1 = 2\sqrt{2}$ または $a - 1 = -2\sqrt{2}$。

$a = 1 + 2\sqrt{2}$ または $a = 1 - 2\sqrt{2}$。$a$ は正の定数であるため、$a = 1 + 2\sqrt{2}$。

$a+1 = 2\sqrt{2}$ より、$a = 2\sqrt{2} - 1$。

したがって、$|a-1| = 2\sqrt{2}$ より、$a = 1+2\sqrt{2}$ または $a = 1-2\sqrt{2}$。

$a>0$ より、$a = 1+2\sqrt{2}$。

(2) 2つの円 $C_1$ と $C_3$ が共有点を持つ条件について考えます。

円 $C_1$ の中心は $(-2, 1)$ で、半径は $1$ です。

円 $C_3$ の中心は $(0, 0)$ で、半径は $b$ です。

2つの円が共有点を持つためには、中心間の距離が、半径の和以下かつ半径の差以上である必要があります。中心間の距離 $d'$ は、

$d' = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

したがって、$|1-b| \leq d' \leq b+1$ 。つまり、$|b-1| \leq \sqrt{5} \leq b+1$ です。

$|b-1| \leq \sqrt{5}$ より、$-\sqrt{5} \leq b-1 \leq \sqrt{5}$。

$1-\sqrt{5} \leq b \leq 1+\sqrt{5}$。

$b+1 \geq \sqrt{5}$ より、$b \geq \sqrt{5}-1$

$b > 0$ であることと、$1 - \sqrt{5} < 0$ より、$1 - \sqrt{5} \leq b \leq 1 + \sqrt{5}$。

つまり、$0 < b \leq 1+\sqrt{5}$ です。

以上より、$\sqrt{5}-1 \leq b \leq 1 + \sqrt{5}$です。$b>0$より、$\sqrt{5}-1 \approx 2.2-1=1.2>0$なので、この範囲で良いです。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2\sqrt{2} - 1$ または $a = 2\sqrt{2} + 1$

(2) $\sqrt{5} - 1 \leq b \leq \sqrt{5} + 1$