半径2の円O1と半径1の円O2が外接しており、直線lにそれぞれ点A, Bで接している。 (1) O1O2の長さを求める。 (2) ABの長さを求める。 (3) 2円が外接している点をPとし、Pを通り2円に接する直線をmとする。mとlの交点をQとするとき、三角形O1O2Qの面積を求める。

1. 問題の内容

半径2の円O1と半径1の円O2が外接しており、直線lにそれぞれ点A, Bで接している。

(1) O1O2の長さを求める。

(2) ABの長さを求める。

(3) 2円が外接している点をPとし、Pを通り2円に接する直線をmとする。mとlの交点をQとするとき、三角形O1O2Qの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) O1O2の長さを求める。

円O1の半径をr1 = 2、円O2の半径をr2 = 1とする。

2つの円が外接しているので、O1O2 = r1 + r2 = 2 + 1 = 3。

(2) ABの長さを求める。

O2からO1Aに下ろした垂線の足をHとする。

O1H = O1A - HA = O1A - O2B = 2 - 1 = 1。

三角形O1HO2は直角三角形なので、三平方の定理より、

$O1O2^2 = O1H^2 + HO2^2$

$3^2 = 1^2 + HO2^2$

$9 = 1 + HO2^2$

$HO2^2 = 8$

$HO2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、AB = HO2 = $2\sqrt{2}$。

(3) 三角形O1O2Qの面積を求める。

Pを通り2円に接する直線をmとし、mとlの交点をQとする。

点Qから円O1と円O2に引いた接線の長さは等しいので、QA = QP = QB。

したがって、点Qは線分ABの中点である。

よって、AQ = QB = AB / 2 = $\sqrt{2}$。

また、直線lはO1AとO2Bに垂直なので、O1AとO2Bは平行である。

よって、三角形O1O2Qの面積は、

$\frac{1}{2} \times O1H \times AQ = \frac{1}{2} \times (O1A-O2B) \times AQ = \frac{1}{2} \times (2-1) \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) O1O2の長さ: 3

(2) ABの長さ: $2\sqrt{2}$

(3) 三角形O1O2Qの面積: $\frac{\sqrt{2}}{2}$