円に内接する三角形があり、円周角が$36^\circ$で与えられています。円と直線が点Aで接しており、接線と弦のなす角$x$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する三角形があり、円周角が$36^\circ$で与えられています。円と直線が点Aで接しており、接線と弦のなす角$x$を求める問題です。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、問題の$36^\circ$と点Aと反対側の頂点を結んだ弧に対する円周角も$36^\circ$となります。接弦定理より、接線と弦のなす角は、その弦に対する円周角に等しいので、$x$は$36^\circ$となります。しかし、図をよく見ると、接弦定理を用いる角は$x$とは異なる角を指しています。

円周角が$36^\circ$の角に対応する弧の中心角は、$2 \times 36^\circ = 72^\circ$です。

接線と弦のなす角に関する定理より、角$x$と、角$x$の反対側の円周角は等しくなります。

この円周角は、与えられた$36^\circ$の円周角と共有する辺を持っています。残りの頂点を結ぶ辺を考えると、この三角形は点Aを含んでいます。

円周角の定理から、同じ弧に対する円周角は等しいので、円周角が$36^\circ$の角と点Aの反対側の頂点を結んだ弦に対する円周角も$36^\circ$です。

接線と弦のなす角の定理より、$x$は、点Aを頂点とする弦の反対側の円周角と等しいので、

$x = 36^\circ + 18^\circ = 54^\circ$

となりそうです。

円に内接する三角形の頂点の一つがAであり、Aにおける接線とのなす角が$x$である。接弦定理から、$x$は弦の反対側の円周角と等しい。

円周角の$36^\circ$は、別の円周角と組み合わさって角$x$を作っている。

図より、$x$は、与えられた$36^\circ$の角とその右側の角の和に等しい。

三角形の内角の和は180度である。

3. 最終的な答え

$x = 54^\circ$