1辺の長さが $x$ mの正方形の土地の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

1辺の長さが $x$ mの正方形の土地の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を計算する。外側の正方形の一辺の長さは $x + 2a$ mなので、外側の正方形の面積は $(x+2a)^2$ m$^2$である。土地の面積は $x^2$ m$^2$なので、道の面積 $S$ は以下の式で表せる。

$S = (x + 2a)^2 - x^2$

$S = x^2 + 4ax + 4a^2 - x^2$

$S = 4ax + 4a^2$

$S = 4a(x + a)$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を計算する。道の真ん中を通る正方形の一辺の長さは $x + a$ mなので、その周の長さ $l$ は以下の式で表せる。

$l = 4(x + a)$

ここで、$al$ を計算する。

$al = a \times 4(x + a)$

$al = 4a(x + a)$

$S$ と $al$ の式を見比べると、

$S = 4a(x + a)$

$al = 4a(x + a)$

したがって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

上記の手順より、$S=al$ となることが証明された。