円錐を頂点と底面の円の中心を通る平面で切断した立体の体積、表面積、および側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める問題です。ただし、円周率は $\pi$ とします。円錐の底面の半径は6cm、高さは8cm、母線は10cmです。

1. 問題の内容

円錐を頂点と底面の円の中心を通る平面で切断した立体の体積、表面積、および側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める問題です。ただし、円周率は $\pi$ とします。円錐の底面の半径は6cm、高さは8cm、母線は10cmです。

2. 解き方の手順

(1) 体積の求め方:

円錐の体積を求めてから、それを半分にします。

円錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で求められます。ここで、$r$ は底面の半径、$h$ は高さです。

$V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = \frac{1}{3} \pi (36) (8) = 96\pi$

この立体の体積は円錐の体積の半分なので、

$V' = \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} (96\pi) = 48\pi$

(2) 表面積の求め方:

この立体の表面積は、円錐の側面積の半分、底面の半円、そして三角形の面積の和です。

* 円錐の側面積: $S = \pi r l$。ここで、$r$ は底面の半径、$l$ は母線の長さです。

$S = \pi (6) (10) = 60\pi$

側面積の半分は $30\pi$ です。

* 底面の半円の面積: $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (6^2) = \frac{1}{2} \pi (36) = 18\pi$

* 三角形の面積: $\frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} (12) (8) = 48$

したがって、表面積は $30\pi + 18\pi + 48 = 48\pi + 48$ となります。

(3) 側面のおうぎ形の中心角の求め方:

円錐の展開図における扇形の中心角を $\theta$ とすると、

$\frac{\theta}{360} = \frac{r}{l}$。ここで、$r$ は底面の半径、$l$ は母線の長さです。

$\frac{\theta}{360} = \frac{6}{10}$

$\theta = \frac{6}{10} \times 360 = 216$ 度

しかしこれは円錐全体の扇形の中心角なので、この立体の側面のおうぎ形の中心角は変わりません。

3. 最終的な答え

(1) 体積: $48\pi \, \text{cm}^3$

(2) 表面積: $(48 + 48\pi) \, \text{cm}^2$

(3) 側面のおうぎ形の中心角: $216^\circ$