台形ABCDにおいて、ADを軸として回転させた立体の体積をア、BCを軸として回転させた立体の体積をイとする。アとイの体積をそれぞれ計算し、どちらがどれだけ大きいか求める。ただし円周率はπとする。台形の各辺の長さは、AB = 5cm, BC = 4cm, CD = 4cm, DA = 7cmである。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、ADを軸として回転させた立体の体積をア、BCを軸として回転させた立体の体積をイとする。アとイの体積をそれぞれ計算し、どちらがどれだけ大きいか求める。ただし円周率はπとする。台形の各辺の長さは、AB = 5cm, BC = 4cm, CD = 4cm, DA = 7cmである。

2. 解き方の手順

まず、ADを軸として回転させた立体の体積アを求める。これは底面の半径が4cm、高さが7cmの円柱から、底面の半径が4cm、高さが7cm-4cm=3cmの円錐を除いたものになる。

円柱の体積は $πr^2h$ で計算できるので、$π(4^2)(7) = 112π$ 立方cm。

円錐の体積は $(1/3)πr^2h$ で計算できるので、 $(1/3)π(4^2)(3) = 16π$ 立方cm。

したがって、アの体積は $112π - 16π = 96π$ 立方cm。

次に、BCを軸として回転させた立体の体積イを求める。これは底面の半径が7cm、高さが4cmの円柱から、底面の半径が5cm、高さが4cmの円錐を除いたものになる。

円柱の体積は $πr^2h$ で計算できるので、$π(7^2)(4) = 196π$ 立方cm。

円錐の体積は $(1/3)πr^2h$ で計算できるので、 $(1/3)π(5^2)(4) = (100/3)π$ 立方cm。

したがって、イの体積は $196π - (100/3)π = (588/3)π - (100/3)π = (488/3)π$ 立方cm。

$488/3 = 162.666...$なので、イの体積は$162.666...π$立方cm。

アとイの体積の差を計算する。

$96π$と$(488/3)π$を比較する。

$96 = 288/3$であるから、

$(488/3)π - (288/3)π = (200/3)π$ 立方cm。

3. 最終的な答え

BCを軸として回転させた立体の体積イは、ADを軸として回転させた立体の体積アよりも $(200/3)π$ 立方cmだけ大きい。