(1) 図1において、原点Oを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。 (2) 図2において、点Aを通り、四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

(1) 図1において、原点Oを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。

(2) 図2において、点Aを通り、四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺ACの中点を通る。

点Aの座標は(0, 6), 点Cの座標は(12, -3)なので、ACの中点の座標は、

$((0+12)/2, (6-3)/2) = (6, 3/2)$

原点(0, 0)と点(6, 3/2)を通る直線の傾きは、

$(3/2 - 0) / (6 - 0) = (3/2) / 6 = 3/12 = 1/4$

よって、求める直線の式は$y = (1/4)x$。

(2)

点Aのy座標は$y = 4$なので、$4 = 2x + 8$より、$2x = -4$, $x = -2$。点Aの座標は$(-2, 4)$。

点Dのy座標は$y = 4$なので、$4 = -3x + 10$より、$3x = 6$, $x = 2$。点Dの座標は$(2, 4)$。

点Bのy座標は$y = -2$なので、$-2 = 2x + 8$より、$2x = -10$, $x = -5$。点Bの座標は$(-5, -2)$。

点Cのy座標は$y = -2$なので、$-2 = -3x + 10$より、$3x = 12$, $x = 4$。点Cの座標は$(4, -2)$。

四角形ABCDは台形であり、面積は

$((2-(-2)) + (4-(-5))) * (4-(-2)) / 2 = (4 + 9) * 6 / 2 = 13 * 3 = 39$

台形の面積を2等分する直線の式を$y = ax + b$とする。点A$(-2, 4)$を通るので、$4 = -2a + b$, $b = 2a + 4$。直線の式は$y = ax + 2a + 4$。

直線が辺BCと交わる点をEとする。Eの座標を$(x_E, y_E)$とおくと、$y_E = ax_E + 2a + 4$かつ、Eは直線BC上にある。直線BCの式は、$y = -2$であるため、$y_E = -2$。

$-2 = ax_E + 2a + 4$, $ax_E = -2a - 6$, $x_E = (-2a - 6) / a = -2 - 6/a$

$E = (-2 - 6/a, -2)$.

四角形ABEAの面積は台形であり、四角形ABCDの面積の半分である。四角形ABEAの面積は $39/2 = 19.5$。

$((-2 - (-5)) + (-2 - (-2 - 6/a))) * (4 - (-2)) / 2 = 19.5$

$(3 + 6/a) * 6 / 2 = 19.5$

$(3 + 6/a) * 3 = 19.5$

$3 + 6/a = 6.5$

$6/a = 3.5$

$a = 6 / 3.5 = 12/7$

$b = 2a + 4 = 24/7 + 28/7 = 52/7$

よって、$y = (12/7) x + 52/7$.

3. 最終的な答え

(1) $y = (1/4)x$

(2) $y = (12/7) x + 52/7$