円の中に四角形ABCDがあり、Oは円の中心である。角BACの外角が46°であるとき、角x（角DOCの半分）の大きさを求める。ただし、Aは円と直線の接点である。

1. 問題の内容

円の中に四角形ABCDがあり、Oは円の中心である。角BACの外角が46°であるとき、角x（角DOCの半分）の大きさを求める。ただし、Aは円と直線の接点である。

2. 解き方の手順

(1) 接弦定理より、$\angle BAC = \angle BDA$である。

外角は隣り合わない内角の和に等しいので、$\angle BAC = 46^\circ$である。

したがって、$\angle BDA = 46^\circ$となる。

(2) $\angle BOD$は$\angle BDA$の中心角なので、

$\angle BOD = 2 \times \angle BDA = 2 \times 46^\circ = 92^\circ$となる。

(3) 四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle BOD$と$\angle COD$は円の中心Oを一周する角度の一部である。

円の中心角は360度なので、$\angle BOD + \angle COD = 360^\circ$である。

$\angle COD = 360^\circ - \angle BOD = 360^\circ - 92^\circ = 268^\circ$

(4) 求める角xは、$\angle COD$の半分なので

$x = \frac{\angle COD}{2}$である。

ただし、中心角の性質より$\angle CAD = \frac{1}{2}\angle COD$であり、円周角の定理より$\angle CBD = \frac{1}{2}\angle COD$である。

今回は、$\angle COD$は円周角$\angle CBD$に対する中心角であるとみなすことができる。

しかし、$\angle COD$は360度よりも小さくないため、$\angle CBD$は弧CDに対する円周角ではない。

弧BDに対する円周角として$\angle BCD$を考えると、$\angle BCD = \frac{1}{2}\angle BOD = \frac{1}{2} \times 92^\circ = 46^\circ$となる。

$\angle COD$が$268^\circ$であるのであれば、円周角として弧CBDに対する円周角$\angle CAD$が存在し、$\angle CAD = \frac{1}{2}\angle COD$が成り立つ。しかし、$\angle CAD$は問題図には示されていない。

ここで、角x（$\angle DCO$）は、$\angle DOC$に対する円周角である。

つまり、$\angle DOB = 2 \times \angle DCO = 2x$が成り立つ。

$\angle DOB = 92^\circ$であるので、$2x = 92^\circ$である。

したがって、$x = 46^\circ$となる。

(別解)

弧BDに対する円周角は等しいので、$\angle BAD = \angle BCD$である。

$\angle BCD = x$である。

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 46^\circ + \angle CAD = x$である。

3. 最終的な答え

46°