双曲線 $4x^2 - 9y^2 = 36$ と直線 $x + y = k$ が共有点を持たないときの、$k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $4x^2 - 9y^2 = 36$ と直線 $x + y = k$ が共有点を持たないときの、$k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた双曲線の式を整理します。

$4x^2 - 9y^2 = 36$ の両辺を36で割ると、

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$

となります。

次に、直線 $x + y = k$ から $y = k - x$ を得て、これを双曲線の式に代入します。

$\frac{x^2}{9} - \frac{(k-x)^2}{4} = 1$

両辺に36を掛けて分母を払うと、

$4x^2 - 9(k^2 - 2kx + x^2) = 36$

$4x^2 - 9k^2 + 18kx - 9x^2 = 36$

$-5x^2 + 18kx - 9k^2 - 36 = 0$

$5x^2 - 18kx + 9k^2 + 36 = 0$

この二次方程式が実数解を持たないとき、双曲線と直線は共有点を持ちません。

したがって、判別式 $D$ が負になる条件を求めます。

$D = (-18k)^2 - 4(5)(9k^2 + 36) < 0$

$324k^2 - 20(9k^2 + 36) < 0$

$324k^2 - 180k^2 - 720 < 0$

$144k^2 - 720 < 0$

$144k^2 < 720$

$k^2 < \frac{720}{144}$

$k^2 < 5$

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$