座標平面上に3点O(0, 0), A(1, 7), B(5, 5)がある。このとき、以下の問いに答える。 (1) △OABにおいて、OA = OB = [ア]√[イ]である。∠AOBの二等分線の方程式はy = [ウ]xである。△OABの面積は[エオ]である。 (2) 辺OBの垂直二等分線の方程式はy = -x + [カ]であるから、△OABの外心の座標は([キ]/[ク], [ケコ]/[サ])である。 (3) △OABの内接円の半径は([シ]√[ス]-[セ])/[ソ]であるから、△OABの内心のx座標は([タチ]-[ツ]√[テ])/[ト]である。

1. 問題の内容

座標平面上に3点O(0, 0), A(1, 7), B(5, 5)がある。このとき、以下の問いに答える。

(1) △OABにおいて、OA = OB = [ア]√[イ]である。∠AOBの二等分線の方程式はy = [ウ]xである。△OABの面積は[エオ]である。

(2) 辺OBの垂直二等分線の方程式はy = -x + [カ]であるから、△OABの外心の座標は([キ]/[ク], [ケコ]/[サ])である。

(3) △OABの内接円の半径は([シ]√[ス]-[セ])/[ソ]であるから、△OABの内心のx座標は([タチ]-[ツ]√[テ])/[ト]である。

2. 解き方の手順

(1)

OA = $\sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

OB = $\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

よって、OA = OB = $5\sqrt{2}$ なので、ア=5, イ=2

∠AOBの二等分線の方程式は、原点からの距離が等しい点の軌跡なので、$ax + by = 0$の形になる。

OAとOBの傾きはそれぞれ7と1なので、OAとOBのなす角を二等分する直線はy=xになる。

直線OAはy=7x、直線OBはy=xなので、$y=x$は∠AOBを二等分する。

よって、ウ=1

△OABの面積は、原点を頂点とする三角形の面積の公式より、

$\frac{1}{2}|(1)(5) - (7)(5)| = \frac{1}{2}|5 - 35| = \frac{1}{2}|-30| = 15$

よって、エオ=15

(2)

OBの中点は$(\frac{5+0}{2}, \frac{5+0}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$

OBの傾きは$\frac{5-0}{5-0} = 1$なので、OBの垂直二等分線の傾きは-1。

垂直二等分線の方程式は、$y - \frac{5}{2} = -1(x - \frac{5}{2})$

$y = -x + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = -x + 5$

よって、カ=5

外心はOA, OB, ABの垂直二等分線の交点である。

OAの垂直二等分線は、$y = -\frac{1}{7}x + \frac{25}{7}$

OBの垂直二等分線は、$y = -x + 5$

この二つを連立すると、$-\frac{1}{7}x + \frac{25}{7} = -x + 5$

$6x/7 = 10/7$より、$x = \frac{5}{3}$

$y = -\frac{5}{3} + 5 = \frac{10}{3}$

よって、外心の座標は$(\frac{5}{3}, \frac{10}{3})$なので、キ=5, ク=3, ケコ=10, サ=3

(3)

△OABの3辺の長さは、

OA = $5\sqrt{2}$

OB = $5\sqrt{2}$

AB = $\sqrt{(5-1)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

△OABの面積は15。内接円の半径をrとすると、$15 = \frac{1}{2}r(5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})$

$30 = r(10\sqrt{2} + 2\sqrt{5})$

$r = \frac{30}{10\sqrt{2} + 2\sqrt{5}} = \frac{15}{5\sqrt{2} + \sqrt{5}} = \frac{15(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(5\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{15(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{50-5} = \frac{15(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{45} = \frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}$

よって、シ=5, ス=2, セ=5, ソ=3

内心のx座標は$\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}$

内心のx座標は$\frac{2\sqrt{5} * 0 + 5\sqrt{2}*1 + 5\sqrt{2}*5}{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2\sqrt{5} + 10\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{5} + 5\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}(\sqrt{5}-5\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2} = \frac{15(\sqrt{10}-10)}{5-50} = \frac{15(\sqrt{10}-10)}{-45} = \frac{-\sqrt{10}+10}{3} = \frac{10 - \sqrt{10}}{3}$

よって、タチ=10, ツ=10, テ=10, ト=3

3. 最終的な答え

(1) ア=5, イ=2, ウ=1, エオ=15

(2) カ=5, キ=5, ク=3, ケコ=10, サ=3

(3) シ=5, ス=2, セ=5, ソ=3, タチ=10, ツ=10, テ=10, ト=3