原点Oと、放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上の3点A, B, Cがあります。直線OA, 直線BCの傾きはともに1で、直線ABの傾きは-1です。 (1) 直線ABの式を求めなさい。 (2) 点Cの座標を求めなさい。 (3) $\triangle OAB$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。 (4) 原点Oを通り、四角形OACBの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

1. 問題の内容

原点Oと、放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上の3点A, B, Cがあります。直線OA, 直線BCの傾きはともに1で、直線ABの傾きは-1です。

(1) 直線ABの式を求めなさい。

(2) 点Cの座標を求めなさい。

(3) $\triangle OAB$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4) 原点Oを通り、四角形OACBの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

点Aのx座標を $a$、点Bのx座標を $b$ とします。

点Aは放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上にあるので、Aの座標は $(a, \frac{1}{4}a^2)$ です。

同様に、点Bの座標は $(b, \frac{1}{4}b^2)$ です。

直線ABの傾きは-1なので、

$\frac{\frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{4}a^2}{b-a} = -1$

$\frac{1}{4}(b+a) = -1$

$b+a = -4$

直線OAの傾きは1なので、$\frac{\frac{1}{4}a^2}{a} = 1$、したがって$\frac{1}{4}a = 1$、$a = 4$

$b = -4-a = -4-4 = -8$

したがって、Aの座標は $(4, 4)$、Bの座標は $(-8, 16)$

直線ABの式は $y = -x + c$ の形であり、A(4, 4)を通るので、

$4 = -4 + c$

$c = 8$

したがって、直線ABの式は $y = -x + 8$ です。

(2)

直線BCの傾きは1なので、直線BCの式は $y = x + d$ の形です。

B(-8, 16)を通るので、$16 = -8 + d$、$d = 24$

したがって、直線BCの式は $y = x + 24$ です。

点Cは放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線BC $y = x+24$ の交点なので、

$\frac{1}{4}x^2 = x + 24$

$x^2 = 4x + 96$

$x^2 - 4x - 96 = 0$

$(x - 12)(x + 8) = 0$

$x = 12, -8$

$x = -8$ は点Bのx座標なので、点Cのx座標は12です。

$y = x + 24 = 12 + 24 = 36$

点Cの座標は $(12, 36)$ です。

(3)

A(4, 4), B(-8, 16), C(12, 36)

$\triangle OAB$ の面積は、$\frac{1}{2} |4\times 16 - 4\times(-8)| = \frac{1}{2}|64 + 32| = \frac{1}{2} \times 96 = 48$

$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} |(4(16-36) + (-8)(36-4) + 12(4-16)| = \frac{1}{2} |4(-20) -8(32) + 12(-12)| = \frac{1}{2} |-80 -256 - 144| = \frac{1}{2} |-480| = 240$

$\triangle OAB : \triangle ABC = 48 : 240 = 1:5$

(4)

O(0, 0), A(4, 4), B(-8, 16), C(12, 36)

四角形OACBの面積は $\triangle OAB + \triangle ABC + \triangle OAC$ で求められる。

$\triangle OAB = 48$

$\triangle ABC = 240$

$\triangle OAC = \frac{1}{2} |4\times 36 - 4\times 12| = \frac{1}{2}|144 - 48| = \frac{1}{2}|96| = 48$

四角形OACBの面積は $48 + 240 = 288$ または $48 + 240 + 48 = 336$

答えが２つあるのはおかしいので、面積を２等分する問題だとすると、四角形OACBの面積はOABとABCの和なので $48 + 240 = 288$ である。

四角形OACBの面積を2等分する直線の式を $y=kx$ とすると、この直線は四角形OACBの面積の半分である144を通る必要がある。

この直線と放物線の交点は $kx = \frac{1}{4}x^2$ より $x(kx - \frac{1}{4}x) = 0$, $x = 0, 4k$

直線OAと直線OCの中点を通る直線を考える。直線OAの中点は(2, 2)、直線OCの中点は(6, 18)なので、この点を通る直線は四角形の面積を2等分するとは限らない。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 8$

(2) $(12, 36)$

(3) 1:5

(4) 解法不明