一辺の長さが$2a (a>0)$の正三角形から、斜線を引いた四角形を切り取り、底面が正三角形のフタのない容器を作る。この容積を$V$とおく。 (1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さと容器の高さを$x$で表せ。 (2) $x$のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $V$を$x$で表し、$V$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが$2a (a>0)$の正三角形から、斜線を引いた四角形を切り取り、底面が正三角形のフタのない容器を作る。この容積を$V$とおく。

(1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さと容器の高さを$x$で表せ。

(2) $x$のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $V$を$x$で表し、$V$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 底面の正三角形の一辺の長さは、元の正三角形の一辺の長さから、$x$の2倍を引いたものであるから、$2a-2x$となる。

切り取られる部分は右図のようになるので、高さは$\frac{x}{\sqrt{3}}$となる。

(2) 容器ができるためには、底面の正三角形の一辺の長さが正である必要があるので、$2a-2x > 0$、よって$x < a$。

また、高さも正である必要があるので、$\frac{x}{\sqrt{3}} > 0$、よって$x > 0$。

したがって、$0 < x < a$となる。

(3) 容器の体積$V$は、底面積$\frac{1}{2}(2(a-x))^2 \sin \frac{\pi}{3}$と高さ$\frac{x}{\sqrt{3}}$の積で表される。

$V = \frac{1}{2} (2(a-x))^2 \sin \frac{\pi}{3} \times \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} 4 (a-x)^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{x}{\sqrt{3}} = (a-x)^2 x = x(x-a)^2 = x(x^2 - 2ax + a^2) = x^3 - 2ax^2 + a^2x$

$V' = 3x^2 - 4ax + a^2 = (3x-a)(x-a)$

$V' = 0$となるのは、$x = \frac{a}{3}, a$のとき。

$0 < x < a$なので、$x = \frac{a}{3}$が極値を与える。

$x= \frac{a}{3}$のとき、$V= (\frac{a}{3}) (\frac{a}{3} - a)^2 = \frac{a}{3} (\frac{-2a}{3})^2 = \frac{a}{3} \frac{4a^2}{9} = \frac{4a^3}{27}$

$V'$の符号を調べると、$0 < x < \frac{a}{3}$で$V' > 0$, $\frac{a}{3} < x < a$で$V' < 0$なので、$x = \frac{a}{3}$で最大値を取る。

3. 最終的な答え

(1) 底面の正三角形の一辺の長さ：$2a-2x$, 容器の高さ：$\frac{x}{\sqrt{3}}$

(2) $0 < x < a$

(3) $V = x^3 - 2ax^2 + a^2x$, 最大値：$\frac{4a^3}{27}$ ($x = \frac{a}{3}$のとき)