点Pは直線 $y=2x+4$ 上の点で、$x$座標は正である。点Aは$x$軸上の点で、$PO=PA$を満たす。三角形POAの面積が48cm$^2$であるとき、点Pの座標を求めよ。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

1. 問題の内容

点Pは直線 $y=2x+4$ 上の点で、$x$座標は正である。点Aは$x$軸上の点で、$PO=PA$を満たす。三角形POAの面積が48cm$^2$であるとき、点Pの座標を求めよ。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(t, 2t+4)$ とおく。ここで、$t>0$。

点Aは$x$軸上の点なので、その座標を $(a, 0)$ とおく。

$PO = PA$なので、$PO^2 = PA^2$。

$PO^2 = t^2 + (2t+4)^2 = t^2 + 4t^2 + 16t + 16 = 5t^2 + 16t + 16$

$PA^2 = (a-t)^2 + (0-(2t+4))^2 = a^2 - 2at + t^2 + (2t+4)^2 = a^2 - 2at + t^2 + 4t^2 + 16t + 16 = a^2 - 2at + 5t^2 + 16t + 16$

$PO^2 = PA^2$より、

$5t^2 + 16t + 16 = a^2 - 2at + 5t^2 + 16t + 16$

$0 = a^2 - 2at$

$a(a-2t) = 0$

$a=0$ または $a=2t$

$a>0$ より、$a=2t$

点Aの座標は $(2t, 0)$ と表せる。

三角形POAの面積は、底辺OAの長さが$2t$、高さが点Pのy座標$2t+4$なので、

$\frac{1}{2} \times 2t \times (2t+4) = 48$

$t(2t+4) = 48$

$2t^2 + 4t = 48$

$2t^2 + 4t - 48 = 0$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

$(t+6)(t-4) = 0$

$t = -6$ または $t = 4$

$t>0$ より、$t=4$

点Pの座標は$(4, 2 \times 4 + 4) = (4, 12)$

3. 最終的な答え

点Pの座標は $(4, 12)$