2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ を満たす。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。 (2) $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ を満たす。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

(2) $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算し、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$\sqrt{5}^2 = 3^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2$

$5 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 - 9 - 4 = -8$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $|\vec{a} - 2\vec{b}|^2$ を計算し、$|\vec{a} - 2\vec{b}|$ を求める。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2$

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 3^2 - 4(-4) + 4(2^2) = 9 + 16 + 16 = 41$

$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{41}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{41}$