三角形ABCの外接円の中心をOとするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す問題です。ここで、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABC = 75^\circ$です。

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円の中心をOとするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す問題です。ここで、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABC = 75^\circ$です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACB$を求めます。三角形の内角の和は180度なので、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

次に、$\angle AOB$、$\angle BOC$、$\angle COA$を求めます。円周角の定理より、

$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$

$\angle COA = 2 \angle ABC = 2 \times 75^\circ = 150^\circ$

$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$とおきます。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = s|\overrightarrow{OA}|^2 + t\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + t|\overrightarrow{OB}|^2$

ここで、外接円の半径を$r$とすると、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = r$です。また、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}| \cos \angle AOC = r^2 \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$であり、$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}| \cos \angle BOC = r^2 \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}r^2$です。さらに、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}| \cos \angle AOB = r^2 \cos 90^\circ = 0$となります。

したがって、

$-\frac{\sqrt{3}}{2}r^2 = sr^2 + t \times 0$

$-\frac{1}{2}r^2 = s \times 0 + tr^2$

より、

$s = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$t = -\frac{1}{2}$

よって、

$\overrightarrow{OC} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OC} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$