座標平面上に3点O(0, 0), A(1, 7), B(5, 5)がある。 (1) △OABにおいて、OA = OB = ア√イである。∠AOBの二等分線の方程式はy=ウxである。△OABの面積はエオである。 (2) OBの垂直二等分線の方程式はy=−x +カであるから、△OABの外心の座標は(キ/ク,ケコ/サ)である。 (3) △OABの内接円の半径は(シス−√セ)/ソであるから、△OABの内心のx座標は(タチ−√ツテ)/トである。

1. 問題の内容

座標平面上に3点O(0, 0), A(1, 7), B(5, 5)がある。

(1) △OABにおいて、OA = OB = ア√イである。∠AOBの二等分線の方程式はy=ウxである。△OABの面積はエオである。

(2) OBの垂直二等分線の方程式はy=−x +カであるから、△OABの外心の座標は(キ/ク,ケコ/サ)である。

(3) △OABの内接円の半径は(シス−√セ)/ソであるから、△OABの内心のx座標は(タチ−√ツテ)/トである。

2. 解き方の手順

(1) OAの長さを計算する。$OA = \sqrt{(1-0)^2 + (7-0)^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

OBの長さを計算する。$OB = \sqrt{(5-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

よって、ア=5、イ=2。

∠AOBの二等分線の方程式を求める。OA, OBの傾きを考える。OAの傾きは7、OBの傾きは1。二等分線の傾きをmとすると、$arctan(m) = \frac{arctan(7) + arctan(1)}{2}$と表せるが、ここでは別の方法で考える。二等分線上の点を(x, y)とすると、点Aから二等分線までの距離と点Bから二等分線までの距離が等しいので、$\frac{|7x-y|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}} = \frac{|5x-5y|}{\sqrt{5^2+(-5)^2}}$、$\frac{|7x-y|}{\sqrt{50}} = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$、$\frac{|7x-y|}{5\sqrt{2}} = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$、$|7x-y|=5|x-y|$。$7x-y=5(x-y)$または$7x-y=-5(x-y)$。$7x-y=5x-5y \implies 2x=-4y \implies y=-\frac{1}{2}x$、$7x-y=-5x+5y \implies 12x=6y \implies y=2x$。点A(1,7)に近いのは$y=7x$なので、点Aと点Bの中点を通りそうな直線を考える。中点は(3,6)なので、原点と(3,6)を通る直線は$y=2x$。よって、ウ=1。

△OABの面積を計算する。$\vec{OA} = (1,7), \vec{OB}=(5,5)$。$S = \frac{1}{2} |1*5 - 7*5| = \frac{1}{2}|5-35| = \frac{1}{2}|-30|=15$。よって、エオ=15。

(2) OBの垂直二等分線の方程式を求める。OBの中点は(5/2, 5/2)。OBの傾きは1なので、垂直な直線の傾きは-1。よって、$y = -x + b$に(5/2, 5/2)を代入して、$5/2 = -5/2 + b$なので$b=5$。よって、垂直二等分線の方程式は$y=-x+5$。カ=5。

△OABの外心を(s, t)とする。外心はOA, OB, ABの垂直二等分線上に存在する。OAの垂直二等分線は$x^2+y^2=(x-1)^2+(y-7)^2 \implies x^2+y^2 = x^2-2x+1+y^2-14y+49 \implies 2x+14y=50 \implies x+7y=25$。OBの垂直二等分線は$y=-x+5$。この二つを連立して解く。$x+7(-x+5)=25 \implies x-7x+35=25 \implies -6x = -10 \implies x=\frac{5}{3}$。$y = -\frac{5}{3} + 5 = \frac{-5+15}{3} = \frac{10}{3}$。よって、キ=5、ク=3、ケコ=10、サ=3。

(3) △OABの内接円の半径をrとする。△OABの面積は15なので、$15 = \frac{1}{2} (OA+OB+AB)r = \frac{1}{2}(5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + \sqrt{(5-1)^2+(5-7)^2})r = \frac{1}{2}(10\sqrt{2}+\sqrt{16+4})r = \frac{1}{2}(10\sqrt{2} + \sqrt{20})r = \frac{1}{2}(10\sqrt{2}+2\sqrt{5})r$

$30=(10\sqrt{2}+2\sqrt{5})r \implies r = \frac{30}{10\sqrt{2}+2\sqrt{5}} = \frac{15}{5\sqrt{2}+\sqrt{5}} = \frac{15(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(5\sqrt{2})^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{15(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{50-5} = \frac{15(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{45} = \frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}$. よって、シス=5、セ=5、ソ=3。

△OABの内心のx座標を求める。内心はOA, OB, ABからの距離が等しい点。

$r=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3} \approx \frac{5(1.414)-2.236}{3} \approx \frac{7.07-2.236}{3} \approx \frac{4.834}{3} \approx 1.611$

内心の座標を(x,y)とすると、OAからの距離は$\frac{|7x-y|}{\sqrt{50}}=r$、OBからの距離は$\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}=r$。$x+7y=25$

$y=x=5/3$

$x = \frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c} = \frac{5\sqrt{2} * 0 + \sqrt{20} * 1 + 5\sqrt{2} * 5}{5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+\sqrt{20}} = \frac{2\sqrt{5} + 25\sqrt{2}}{10\sqrt{2}+2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + \frac{25}{2}\sqrt{2}}{5\sqrt{2}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5}+\frac{25}{2}\sqrt{2})(5\sqrt{2}-\sqrt{5})}{50-5} = \frac{5\sqrt{10}-5+\frac{125}{2}*2 - \frac{25}{2}\sqrt{10}}{45} = \frac{5\sqrt{10}-5+125-\frac{25}{2}\sqrt{10}}{45} = \frac{120-\frac{15}{2}\sqrt{10}}{45} = \frac{24-\frac{3}{2}\sqrt{10}}{9} = \frac{8-\frac{1}{2}\sqrt{10}}{3} = \frac{16-\sqrt{10}}{6}$

タチ=16、ツテ=10、ト=6

3. 最終的な答え

ア=5、イ=2、ウ=1、エオ=15

カ=5、キ=5、ク=3、ケコ=10、サ=3

シス=5、セ=5、ソ=3

タチ=16、ツテ=10、ト=6